SetとVect間の自由⊢忘却の随伴
参考
をやろうと思ったが、以下に書いている「わからない」などの理由により断念mrsekut.icon
一応メモだけ残しておく
間違っているかもしれないので参考程度に
https://gyazo.com/f4b553ca3accc1206744a8c278ba1318
以下の2条件を満たすことを確認する必要がある
$ \phi_{S,V}:\mathrm{Vect}_k(FS,V)\to\mathrm{Set}(S,UV) が全単射になる
または、$ \phi_{V,S}:\mathrm{Set}(S,UV)\to\mathrm{Vect}_k(FS,V) が全単射になる
ベシ圏p.52では無視している
$ \phi_{S,V}:\mathrm{Vect}_k(FS,V)\to\mathrm{Set}(S,UV) が全単射になる
または、$ \phi_{V,S}:\mathrm{Set}(S,UV)\to\mathrm{Vect}_k(FS,V) が全単射になる
片方の向きのみの確認で十分だが(?)、両方確認する
$ \phi_{S,V}:\mathrm{Vect}_k(FS,V)\to\mathrm{Set}(S,UV) が全単射になるについて
p.52上から8行目$ \bar{g}(s)=g(s)の右辺側
$ gは線型写像でしょ、例えば行列に成る
一方で$ sは集合$ Sの元なのでスカラーもありうる
型が異なるのになぜ$ g(s)のような適用ができるのか
$ \phi_{V,S}:\mathrm{Set}(S,UV)\to\mathrm{Vect}_k(FS,V) が全単射になるについて
下から7行目の大きい等式の3項目と4項目のイコール
$ \sum_{s\in S}\lambda_s g(s)=g(\sum_{s\in S}\lambda_s s)の箇所
なぜこれが成り立つ？
もし$ \bar{g}(s)=g(s)を使っているのであれば、
「1項目=$ \bar{g}(\sum_{s\in S}\lambda_s s)=4項目」と書けばで十分なので、
逆にp.52に書いている1項目~3項目の変形の意義がわからなくなる