極大イデアルの剰余環は体
定理
性質
証明
$ \Rightarrow）$ Iが極大イデアル $ \Rightarrow $ R/Iが体 $ a \not\in Iに対して$ a + I \in R/Iが逆元を持つことを示せば良い $ a \in Iに対しては、$ a + I = 0
イデアル$ J=\{ar+i \mid r \in R, \ i \in I\}を考える $ I \subset Jなので、$ J = Rである
よって、$ 1 \in Jであるので、$ 1 = ar + iとなる$ r \in R、$ i \in Iが存在する
$ r + Iは$ a + Iの$ R/Iでの逆元である
$ (r+I)(a+I) = ra+I = 1-i+I = 1 + I
$ \Leftarrow）$ R/Iが体 $ \Rightarrow $ Iが極大イデアル $ Jを$ Iより大きいイデアルとして、$ J=Rを導く $ aを$ a \in Jだが$ a \not\in Iな元とする
$ a + Iが零でないので、$ b+I \in R/Iが存在する
$ (a+I)(b+I) = ab + I = 1 + I
変形すると
$ 1-ab \in I
ここで、$ a \in Jより$ ab \in Jである
同時に、$ 1-ab \in I \subset Jもわかる
よって
$ 1 = (1-ab)+ab \in J
であるので、$ J = Rとなる