イデアル
定義
環$ Rに対してその部分環$ I \subset Rがあって、 2. 任意の$ r \in R, $ a \in Iに対して、$ ra \in I
より強いもの
自身を含むより大きなイデアルが存在しないイデアル
集合として大きいイメージ
$ a, b \in Rかつ$ ab \in Iのとき、$ a, b \in I
イデアルの要素の因子はイデアルに入る
例
任意の環$ Rについて、$ \{0\}と$ Rはイデアル
正整数$ nに対して、$ n\mathbb{Z}=\{0, n, 2n, 3n, \cdots\}は$ \mathbb{Z}のイデアル
単元を持つ可換環$ Rとその元$ a \in Rについて、$ aの生成するイデアル$ \langle a \rangle = \{ra \mid r \in R\}はイデアル よく出てくる例：
任意の体$ Fに対して、多項式環$ F[x]を考える。任意の多項式$ f \in F\lbrack x\rbrackに対して、 $ \langle f \rangle = \{fg \mid g \in F\lbrack x \rbrack\}
はイデアル