単項イデアル整域では素イデアルと極大イデアルは同じ

定理

$ Dのイデアル$ I \in Dについて

証明

$ Iを素イデアルであるとして、$ Iが極大イデアルであることを示す

$ Jを$ Iを真に含むイデアルとする（$ I \subsetneq I）

$ J = Dを示せばいい

$ I = \langle a \rangle

$ J = \langle b \rangle

$ I \subset Jより、$ a \in \langle b \rangleなので

$ x \in Dが存在して$ a = bx \in \langle a \rangle = I

$ Iは素イデアルなので、$ bx \in Iより$ b \in Iであるか$ x \in I

$ b \in Iならば$ J \subset Iなので、$ b\not\in I

$ b \in I = \langle a \rangleの場合、$ b = a\bar{b}となる$ \bar{b} \in Dが存在する

任意の$ x \in J = \langle b \rangleは$ x = b\bar{x}と書けるので

$ x = a\bar{b}\bar{x} = a (\bar{b}\bar{x}) \in \langle a \rangle

よって、$ J \subset I

よって、$ x \in I = \langle a \rangle

ある$ y \in Dが存在して$ x = ay

つまり、$ a = bx = b(ay) = a (by)となるので、$ by = 1

oO（ここで$ Dが可換環であることを使ってる）

$ bは逆元$ yを持つので、単元であり、その生成イデアルは$ D全体となる