可換環の極大イデアルは素イデアル
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#代数
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定理
可換環
$ R
の
イデアル
$ I
が
極大イデアル
であれば、
素イデアル
証明
$ I
を
極大イデアル
とし、これが
素イデアル
であることを示す
ある
$ a, b \in R
に対して
$ ab \in I
とする
$ a \in I
であるか
$ b \in I
であることを示せば良い
逆に、
$ a, b \not\in I
と仮定して、
$ I
より大きい
イデアル
$ J
を作れば良い