自然対数の底
base of natural logarithm
しぜんたいすうのてい
(底は「てい」で「そこ」ではない)
ネイピア数(Napier's constant)とも呼ばれる。
$ eと表記する。
何度微分・積分しても$ e^xは$ e^xになる。 微分したときに同じ値になる関数$ f(x)を作ると、必然的に逆関数となる積分でも同じ値になる。 $ f'(x) = f(x) = a^x
この時の$ aはどういう式になるか?
$ f'(x) = \lim_{d \to 0}{f(x+d) - f(x) \over (x+d) - x}
$ = \lim_{d \to 0}{\frac{a^{x+d} - a^x}{d}}
$ = a^x \lim_{d \to 0}{\frac{a^{d} - 1}{d}}
$ f(x) = f'(x) = a^x から
$ a^x = a^x \lim_{d \to 0}{\frac{a^{d} - 1}{d}}
$ \lim_{d \to 0}{\frac{a^{d} - 1}{d}} = 1
この関係式を満たす$ aを求めると以下のようになる。
$ a^d - 1 = d
$ a^d = d + 1
$ a = (d + 1)^\frac{1}{d}
実際に代入すれば、関係を満たせる事が分かる。
$ \lim_{d \to 0}{\frac{((d + 1)^\frac{1}{d})^{d} - 1}{d}} = 1
$ \lim_{d \to 0}{\frac{(d + 1) - 1}{d}} = 1
$ \lim_{d \to 0}{\frac{d}{d}} = 1
よって
$ a = \lim_{d \to 0}(d+1)^\frac{1}{d}
この$ aが自然対数の底$ eとなる。
$ e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n
$ e = \lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}