指数
Exponent
基本的な定義
$ xを$ k回掛け合わせるということを表す時、$ x^kと表して「$ xを$ k乗する」と呼ぶ。
この時$ x^kを$ xの冪乗と呼び、$ kを指数と呼ぶ。 (実は対数の方が先に考案され使われるようになった。)
0と負数への拡張
$ xを$ k回掛けるならば、その逆として$ xで割り続ける事が考えられる。
そう考えると$ x^0=1と$ x^{-k} = \frac{1}{x^k}(ただしこの時点では自然数のみ)は自然と導かれる。
導かれる各種の法則
$ x^a x^b = x^{a+b}
$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
思考実験として、$ x^{\frac{1}{2}}という数がどうなるのかを考える。
$ x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = x^{{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{2}}} = x となる。
そう考えると、$ x^{\frac{1}{2}}に等しい物は$ y^2 = x の時の$ y = \sqrt{x}となる。
有理数から実数への拡張は、連続性を証明するだけでよい。
指数の変換
定数$ a, bがあって、$ a^x = b^yとした時、$ xを$ yに変換するにはどうするか?
$ \log_e{a^x} = \log_e{b^y}
$ x \log_e{a} = y \log_e{b}
$ y = x \frac{\log_e{a}}{\log_e{b}}
ここでは底を自然対数の底$ eとしたが、どの底を選んでもよい。 (普通は計算しやすいものを選ぶ。ここでは$ aか$ bが扱いやすいはず)
$ y = x \frac{\log_b{a}}{\log_b{b}}
$ y = x \log_b{a}
参考
Power（累乗）,Root(累乗根)の読み方などExponents(指数)の英語表現