指数

Exponent

基本的な定義

$$x$$を$$k$$回掛け合わせるということを表す時、$$x^k$$と表して「$$x$$を$$k$$乗する」と呼ぶ。

この時$$x^k$$を$$x$$の冪乗と呼び、$$k$$を指数と呼ぶ。

指数の逆関数となるものが対数である。

(実は対数の方が先に考案され使われるようになった。)

0と負数への拡張

$$x$$を$$k$$回掛けるならば、その逆として$$x$$で割り続ける事が考えられる。

そう考えると$$x^0=1$$と$$x^{-k} = \frac{1}{x^k}$$(ただしこの時点では自然数のみ)は自然と導かれる。

導かれる各種の法則

$$x^a x^b = x^{a+b}$$

$$\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$

有理数への拡張

思考実験として、$$x^{\frac{1}{2}}$$という数がどうなるのかを考える。

$$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = x^{{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{2}}} = x$$ となる。

そう考えると、$$x^{\frac{1}{2}}$$に等しい物は$$y^2 = x$$ の時の$$y = \sqrt{x}$$となる。

実数への拡張

有理数から実数への拡張は、連続性を証明するだけでよい。

複素数への拡張

指数の変換

定数$$a, b$$があって、$$a^x = b^y$$とした時、$$x$$を$$y$$に変換するにはどうするか?

$$\log_e{a^x} = \log_e{b^y}$$

$$x \log_e{a} = y \log_e{b}$$

$$y = x \frac{\log_e{a}}{\log_e{b}}$$

ここでは底を自然対数の底$$e$$としたが、どの底を選んでもよい。

(普通は計算しやすいものを選ぶ。ここでは$$a$$か$$b$$が扱いやすいはず)

$$y = x \frac{\log_b{a}}{\log_b{b}}$$

$$y = x \log_b{a}$$

参考

Power（累乗）,Root(累乗根)の読み方などExponents(指数)の英語表現

https://you-eigo.com/exponents/