対数
Logarithm
基本的な定義
ある数から指数を取り出す関数、指数の逆関数を考えるとそれが対数の関数になる。
$ x = a^k(ただし$ a>0, a\ne 1, x>0 )の時$ f(x, a) = k を満たす関数 $ f が対数の関数となる。
この関数を$ \log_a{x} = kと表記する。
この時、$ aを対数の底と呼ぶ。
$ xの値だけを見ても、底の値は分からないので、底を書くしかない。
例えば、以下のようになる。
$ \log_4{16} = \log_4{4^2} = 2
$ \log_2{16} = \log_2{2^4} = 4
底が省略されている場合、通常は自然対数と見なされ、自然対数の底$ eが指定されたものと見なす。
(常用対数である事もある。文脈に注意。)
対数の性質
$ x = a^k \quad (a>0, a\ne 1, x>0) \iff \log_a{x} = k
$ \log_a{a^k} = k
$ a^{\log_a k} = k
$ \log_a{MN} = \log_a{M} + \log_a{N}
$ \log_a{\frac{M}{N}} = \log_a{M} - \log_a{N}
$ \log_a{M^r} = r\log_a M
$ \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}