微分 - bbr-math-memo

微分

積分の逆操作になる。

変化率を求めるのが微分の本質

分かりやすいのは、速度の計算

位置$ xと時間$ t から速度を求める時

時間 $ t_0 の時、位置 $ x_0

時間 $ t_1 の時、位置 $ x_1

とした時に

位置の変化 $ \Delta x = x_1 - x_0 を時間の変化 $ \Delta t = t_1 - t_0 で割ると、$ \Delta tの間の平均速度となる。

$ v = {x_1 - x_0 \over t_1 - t_0}

この、$ \Delta t を0になるように $ t_1を$ t_0に近づけていくと、$ t_0の時の速度となる。

微分の基本的な考え方

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

なお、$ aをどちらから近づけるか(正からか負からか)で値が変わる事があることに注意。

これを示すために$ a \to +0、$ a \to -0と書く事がある。

これを理解するには、極限を理解する必要がある。

微分の例

$ f(x) = x の場合

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{(x+a) - x \over (x+a) - x}

$ = 1

$ f(x) = x^2 の場合

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{(x+a)^2 - x^2 \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{2xa + a^2 \over a}

$ = \lim_{a \to 0}{2xa \over a} + \lim_{a \to 0}{a^2 \over a}

$ = 2x

$ f(x) = x^3 の場合

$ f'(x) = \lim_{a \to 0}{f(x+a) - f(x) \over (x+a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{(x+a)^3 - x^3 \over (x + a) - x}

$ = \lim_{a \to 0}{3x^2a + 3xa^2 + a^3 \over a}

$ = \lim_{a \to 0}{3x^2a \over a} + \lim_{a \to 0}{3xa^2 \over a} + \lim_{a \to 0}{a^3 \over a}

$ = 3x^2

必ず二項定理の2番目の項のみが残る。

つまり

$ f(x) = x^nの場合

$ f'(x) = \binom{n}{n-1}x^{n-1}

$ = nx^{n-1}

極限・微分による基本的な性質

$ \lim_{x \to 0}{x^k} = 0 (k > 0)

$ x^0 = 1

$ \lim_{x \to 0}{x^k \over x} = 0 (k>1)

(この場合は、$ xは0になることはないので、単純に割ってしまってもよい。)