SNNN数マップ

$ \begin{pmatrix}10 & 7\cr0&1\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}3\cr1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}S(n)\cr1\end{pmatrix}のような形で表現すれば(逆行列の存在から)$ \begin{pmatrix}10 & 7\cr0&1\end{pmatrix}^nの全体が巡回群をなすことは明白だが, その方向からの研究はされていない?

これに限らず, 代数的な方針からの研究は解析的方針に比べて見当たらないように思う

$ \forall n\in\mathbb{N}.\ 10^n\equiv 7/34\pmod p\iff S(n)\equiv 0\pmod pのようなより単純な予想について考えると部分巡回群の所属判定問題に帰着できる

↑ 少し意味は異なるが倍数法則の存在に関する必要十分条件として証明

イデアルの議論に落とすなら$ (x - 10) \mid (34x^n - 7)になる条件を考えればよいが, これは結局多項式除算の結果$ p\mid S(n)に帰着してしまう

↑冪根の添加による体拡大の問題に帰着できないか (Galois拡大になるからGalois理論とArtin-Schreier / Kummer理論で研究できるのでは?)

j-invariantにSNNN数をもつような楕円曲線の一般的な構成法とか考えたら面白そう

SNNN数そのもののなす集合がどんな性質を持っているかについての議論

明らかに整除関係に関して半順序集合をなすのだから, その束構造について考えることは有用なのではないか

SNNN数の倍数になるSNNN数は無限に存在する ( SNNN数の倍数になるSNNN数の存在証明 )し構成可能. 逆に整除関係とこの構成は同値になるのか?

圏として同値なのかどうかを見ればよい?

SNNN数2個を約数に持つSNNN数は存在しないのか?

存在する: $ S(1)\mid S(755555555563)\land S(11)\mid S(755555555563)

code: snnn_two_multiple.gp

p1, p2 = Sn(1), Sn(11)

x = znlog(Mod(7/34, p1 * p2), Mod(10, p1 * p2))

SnMod(x, p1) == 0, SnMod(x, p2) == 0 \\ 1, 1

倍数法則の存在に関する必要十分条件を$ a, b, sからより細かく制御できれば, この点についてより深い検討もできそうに思う

SNNN数を与える関数$ S(n), $ S_{a, b, s}(n)そのものの研究もあまりされていないのか

全射性条件については未証明, 単射は暗黙のうちに利用されているに過ぎない

一般化SNNN数のパラメータ空間$ (a, b, s)の構造と$ \mathbb{S}_{a, b, s}の対応関係も研究の余地はある

repunit等との関連性に関する研究

377...77 の素因数分解はこの方針

repunit / repdigit primeの無限性問題はマイナーとはいえ研究途上であり, 個人的にはそっちが解かれないとSNNN数の無限性証明も難しいのではないかと考える

「repdigit primeが無限に存在するならばSNNN素数も無限に存在する?」というような帰着命題を考えることになりそう

$ \tilde{k_p}, $ f\colon \mathbb{Z}\ni x\mapsto ax + b\in\mathbb{Z}のような頻出概念に名前を付けたほうがいいのでは

そもそも記号表を作らないといけない