SNNN素因数の全体は無限集合
Statement (informal)
Statement (formal)
$ X := \lbrace\,p\mid p\in\mathbb{P}.\ \exists n\in\mathbb{N}.\ p\mid S(n).\,\rbrace. $ \forall k\in\mathbb{N}. $ k\lt \lvert X\rvert.
Proof
$ \exists k\in\mathbb{N}. $ \lvert X\rvert = k. を仮定する.
$ X\subsetneq \mathbb{P}\subsetneq \mathbb{N}であることから, $ Xが有限集合であるなら, $ \lvert X\rvertは自然数に一致する
SNNN数は偶数ではなく, また末尾桁は0, 5のいずれでもないため, 2, 5はSNNN素因数ではない. したがって$ 2, 5\notin Xである.
いま$ X = \lbrace\,p_0, p_1, \ldots, p_{k-1}\,\rbraceと表し, 基本周期$ u_{p_i}を用いて$ n := u_{p_0}u_{p_1}\cdots u_{p_{k-1}} - 1とおく.
すると$ \forall i\in\mathbb{N}. $ 0\leq i\lt k\implies n\equiv -1\pmod {u_{p_i}}. である.
Lem. Aより$ \forall i\in\mathbb{N}. $ 0\leq i\lt k\implies S(n)\not\equiv 0\pmod {p_i}.
したがって$ \forall p\in X. $ p\nmid S(n). であるから, $ \exists q\in\mathbb{P}. $ q\mid S(n)\land q\notin X.
ところが, $ p\in X\iff \exists n\in\mathbb{N}.\ p\mid S(n). であることから$ q\in Xでなければならず矛盾.
背理法により, $ \forall k\in\mathbb{N}. $ k\lt \lvert X\rvert. $ \Box
Lem. A (formal)
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ p\in\mathbb{P}. $ \gcd(p, 10) = 1. $ n\equiv -1\pmod {u_p} \implies S(n)\not\equiv 0\pmod p. ただし$ u_pは$ pの基本周期. Proof.
SNNN数の周期 Thm. 1より$ S(u_p-1)\not\equiv 0\pmod pを示せば十分である. $ u_p = \mathrm{o}(10)のとき: 素数に対する巡回定理より$ p\nmid 34かつ$ p\nmid 9である. 仮に$ S(u_p-1)\equiv 0\mod pとすると次が成立:
$ \begin{aligned}S(u_p - 1)\equiv 0\pmod p &\iff (34\cdot 10^{\mathrm{o}(10)-1}-7)/9\equiv 0\pmod p\cr &\iff 10(34\cdot 10^{\mathrm{o}(10)-1}-7)\equiv 0\pmod p\cr&\iff 34\cdot 10^{\mathrm{o}(10)}-70\equiv 0\pmod p\cr&\iff 34 - 70\equiv 0\pmod p\cr&\iff -36\equiv 0\pmod p\end{aligned}
$ 36 = 2^23^2より$ p = 2 \lor p = 3.
ところが$ \gcd(p, 10) = 1かつ$ p\nmid 9であるからいずれも棄却されるため, $ -36\not\equiv 0\pmod p\iff S(u_p-1)\not\equiv 0\pmod pが結論される.
$ u_p = pのとき: 素数に対する巡回定理より$ p\nmid 34かつ$ p\mid 9である. この条件に合致する$ pは$ 3のみである. $ S(u_p - 1)\equiv S(2) \equiv 377\equiv 1\not\equiv 0\pmod 3.
$ u_p = 1のとき: 素数に対する巡回定理より$ p\mid 34である. $ \gcd(p, 10) = 1より$ pは$ 17に限られる. $ S(u_p - 1) \equiv S(0)\equiv 3\not\equiv 0\pmod {17}. $ \Box