一般化SNNN数

Definition (formal)

Note

一般化の方向性はこれだけではなさそうだが, 今の所唯一まともに上がっているのがこれ?

一般化SNNN数を一つとってきたとき, その添字が一意的に定まるわけではない

全射性に関してはopen problem?

一般項

Statement (formal)

Proof

1.

$ \begin{aligned}S_{a, b, s}(n+1)&= f\left(S_{a, b, s}(n)\right)\cr&= f\left(\frac{a^n((a-1)s + b) - b}{a-1}\right)\cr&= a\cdot \frac{a^n((a-1)s + b) - b}{a-1}+b\cr&= \frac{a^{n+1}((a-1)s + b) - ab}{a-1}+\frac{b(a-1)}{a-1}\cr&= \frac{a^{n+1}((a-1)s + b) - ab + ab - 1}{a-1}\cr&= \frac{a^{n+1}((a-1)s + b)- 1}{a-1}\end{aligned}

数学的帰納法より成立.

2.

計算用コード片

code: generalized_snnn.gp

GeneralizedSnDisc(a, b, s) = {(a - 1) * s + b}

GeneralizedSn(a, b, s, n) = {if(a == 1, s + b * n, (a^n * GeneralizedSnDisc(a, b, s) - b) / (a-1))}

GeneralizedSnMod(a, b, s, n, mod) = {if(a == 1, s + Mod(b, mod) * n, ((Mod(a, mod)^n * (a-1) * s + b) - b) / (a-1))}

GeneralizedSnModLift(a, b, s, n, mod) = {if(a == 1, lift(s + Mod(b, mod) * n), lift(((Mod(a, mod)^n * (a-1) * s + b) - b) / (a-1)))}

基本性質

Proposition 1 (formal)

Proof

各命題で必要とされる式変形そのものは同一であるため, 以下は同値性に注目して3命題を同時に証明する.

$ \begin{aligned}S_{a, b, s}(2) - S_{a, b, s}(1) &= f^2(s) - f(s)\cr &= \frac{a^2D - b}{a-1} - \frac{aD - b}{a-1}\cr &= \frac{a^2D - b - aD + b}{a-1}\cr&= \frac{(a - 1)aD}{a-1}\cr&= aD\cr\end{aligned}

$ \begin{aligned}S_{a, b, s}(n+1) - S_{a, b, s}(n) &= f^{n+1}(s) - f^{n}(s)\cr&= \frac{a^{n+1}D - b}{a-1} - \frac{a^nD - b}{a-1}\cr&= \frac{a^{n+1}D - b - a^nD + b}{a-1}\cr&= \frac{a^{n+1}D - a^nD}{a-1}\cr&= \frac{a^n(a - 1)D}{a-1}\cr&= a^nD\end{aligned}

Proposition 2 (formal)

Proof