SNNN対数和
Definition (formal)
$ \forall a, b, s\in\mathbb{Z}. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ \mathbb{S}_{a, b, s}\subseteq \mathbb{N}であるとき, 以下のように定義する.
1. $ \mathcal{L}_{a,b, s}(n) := \sum_{i = 0}^{n-1} \log(S_{a, b, s}(i))をSNNN対数和という.
2. $ \forall p\in\mathbb{P}. $ \overline{\mathcal{L}_{a,b, s}^{(p)}}(n) := \sum_{i = 0}^{n-1} v_p(S_{a, b, s}(i)). ただし$ v_pはp-adic valuation.
3. $ \forall p\in\mathbb{P}. $ \mathcal{L}_{a,b, s}^{(p)}(n) := \log(p)\overline{\mathcal{L}_{a,b, s}^{(p)}}(n).
Note
実際SNNN対数和の本質は乗法群から加法群への準同型を構成できることにあるため, 底に依存せず議論してよい
本wikiでは, 底として自然対数$ eを仮定している
基本性質
Prop. 1 (formal)
$ \forall a, b, s\in\mathbb{Z}. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ \mathbb{S}_{a, b, s}\subseteq \mathbb{N}であるとき, $ \log(S_{a, b, s}(n)) = \sum_{p\in\mathbb{P}} \log(p)v_p(S_{a, b, s}(n)).
Proof
素因数分解の一意性より, 素数$ p_0, p_1, \ldots, p_{\ell - 1}を用いて$ S_{a, b, s}(n) = \prod_{i=0}^{\ell - 1} p_i^{v_p(S_{a, b, s}(n))}と一意的に表せる.
$ X := \lbrace\,p_0, p_1, \ldots, p_{\ell-1}\,\rbrace.
$ \log S_{a, b, s}(n) = \sum_{p\in X} v_p(S_{a, b, s}(n))\log(p) = \sum_{p\in X}\mathcal{L}_{a, b, s}^{(p)}(n).
他方$ \forall p\in\mathbb{P}. $ p\in X \iff v_p(S_{a, b, s}(n)) \ne 0であるから
$ \begin{aligned}\sum_{p\in\mathbb{P}} \mathcal{L}_{a, b, s}^{(p)}(n) &= \sum_{p\in\mathbb{P}} v_p(S_{a, b, s}(n))\log(p)\cr &= \sum_{p\in X} v_p(S_{a, b, s}(n))\log(p)\cr &= \log S_{a, b, s}(n).\end{aligned}
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Prop. 2 (formal)
$ \forall a, b, s\in\mathbb{Z}. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ \mathbb{S}_{a, b, s}\subseteq \mathbb{N}であるとき, $ \mathcal{L}_{a, b, s}(n) = \sum_{p\in\mathbb{P}} \mathcal{L}_{a, b, s}^{(p)}(n).
Proof
$ n = 0のとき: $ \forall p\in\mathbb{P}. $ \overline{\mathcal{L}_{a, b, s}}(0) = 0より成立.
$ nで成立を仮定, $ n+1のとき:
$ \mathcal{L}_{a, b, s}(n+1) = \mathcal{L}_{a, b, s}(n) + \log(S_{a, b, s}(n)).
仮定より$ \mathcal{L}_{a, b, s}(n) = \sum_{p\in\mathbb{P}}\mathcal{L}_{a, b, s}^{(p)}(n).
Prop. 1より$ \log(S_{a, b, s}(n)) = \sum_{p\in\mathbb{P}} \log(p)v_p(S_{a, b, s}(n))であり, 次が成立.
$ \begin{aligned}\mathcal{L}_{a, b, s}(n+1) &= \sum_{p\in\mathbb{P}}\left(\mathcal{L}_{a, b, s}^{(p)}(n)\right)+\left(\sum_{p\in\mathbb{P}} \log(p)v_p(S_{a, b, s}(n))\right)\cr&= \sum_{p\in\mathbb{P}}\mathcal{L}_{a, b, s}^{(p)}(n) + \log(p)v_p(S_{a, b, s}(n))\cr&= \sum_{p\in\mathbb{P}}\log(p)\left(\overline{\mathcal{L}_{a,b, s}^{(p)}}(n) + v_p(S_{a, b, s}(n))\right)\cr&= \sum_{p\in\mathbb{P}}\log(p)\left(\left(\sum_{i = 0}^{n-1} v_p(S_{a, b, s}(i))\right) + v_p(S_{a, b, s}(n))\right)\cr&= \sum_{p\in\mathbb{P}}\log(p)\left(\sum_{i = 0}^n v_p(S_{a, b, s}(i))\right)\cr&= \sum_{p\in\mathbb{P}}\log(p)\overline{\mathcal{L}_{a,b, s}^{(p)}}(n+1)\cr&= \sum_{p\in\mathbb{P}}\mathcal{L}_{a,b, s}^{(p)}(n+1)\cr\end{aligned}
数学的帰納法より成立. $ \Box