【SNNN数論】SNNN対数和とその応用
一般の自然数(実数)における対数関数を用いる
積構造から和構造への準同型としてこれを用いる
またその対数和そのものの数値的性質と合わせる
SNNN対数和そのものは二次関数近似できる
近似誤差はO(1) (より具体的には70/243)なのでnegligible
対数和による分解について
素因数分解の一意性は$ \mathbb{Z}なので仮定してよい
$ \overline{\varphi_p}(x)は一次関数近似可能
$ X := \lbrace\,p\mid p\in\mathbb{P}.\ \varphi_p(x) \gt 0.\,\rbrace を「pに関するSNNN対数和が0より大きいようなpの全体 (SNNN素因数の全体)」とする. $ \varphi(x) = \sum_{p\in\mathbb{P}}\varphi_p(x)であるため, $ Xが有限集合である場合(二次関数) = (一次関数)となり矛盾. このことから$ Xは無限集合である.