3n番目のSNNN数は3を約数にもつ
Statement (formal)
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ 3\mid n\iff 3\mid S(n).
Proof
まず$ \forall n\in\mathbb{N}. $ S(n) \equiv 3\cdot10^n + 7R(n)\equiv R(n)\pmod 3. である. また, $ R(n) = \sum_{i = 1}^{n-1} 10^{n-1}より$ R(n)の10進展開の各桁の和は$ nに等しい.
$ \Longrightarrow: $ 3\mid nより$ R(n)の各桁の総和$ nは3の倍数. 自然数が3の倍数になるための必要十分条件は各桁の総和が3の倍数であるから$ S(n) \equiv R(n)\equiv 0\pmod 3.
$ \Longleftarrow: $ S(n)\equiv 7R(n)\equiv 0\pmod 3. ここで$ \gcd(7, 3) = 1だから$ 3\mid R(n). したがって各桁の総和$ nは3の倍数. $ \Box