11進SNNN数におけるSNNN予想
Statement (informal)
奇数番目の11進SNNN数は2を, 偶数番目の11進SNNN数は3を約数にもつ. 即ち11進SNNN素数は3に限られる. Statement (formal)
1. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ 2\mid n \iff 3\mid S_{11}(n).
2. $ \forall n\in\mathbb{N}. $ 2\nmid n\iff 2\mid S_{11}(n).
3. $ \mathbb{S}_{11}\cap\mathbb{P} = \lbrace\,3\,\rbrace.
Proof
1. $ S_{11}(n)\equiv (37\cdot 11^n - 7)/10\equiv (1\cdot 2^n-1)/1\equiv 2^n-1\pmod 3である. Lem. Aより$ 2\mid n\iff 2^n - 1\equiv 0\pmod 3. したがって$ 2\mid n \iff 3\mid S_{11}(n).
3.
$ \Longrightarrow: $ \exists k\in\mathbb{N}. $ n = 2k+1.
$ k = 0のとき: $ S_{11}(n) \equiv S_{11}(1) \equiv 11\cdot 3+7 \equiv 40 \equiv 0\pmod 2.
$ kで成立, $ k+1のとき:
$ \begin{aligned}S_{11}(n) &\equiv S_{11}(2(k+1)+1)\cr &\equiv S_{11}(2k+1+2)\cr &\equiv 11^2\cdot S_{11}(2k+1) + 7\cdot 11 + 7\cr &\equiv S_{11}(2k+1)\cr &\equiv 0\pmod 2\cr\end{aligned}
数学的帰納法より任意の$ kに対し成立.
$ \Longleftarrow: $ \exists k\in\mathbb{N}. $ S_{11}(n) = 2k \iff (37\cdot 11^n - 7) / 10 = 2k\iff 37\cdot 11^n = 7 + 20k \iff 3^n\equiv 1\pmod 4. $ 3\bmod 4の位数は2だから$ 2\mid n.
3. $ X := \lbrace\,S_{11}(2k)\mid k\in\mathbb{N}\,\rbrace, $ Y := \lbrace\,S_{11}(2k+1)\mid k\in\mathbb{N}\,\rbrace. とする. $ \mathbb{S}_{11} = X\cup Yかつ$ X\cap Y = \emptyset. であるから, $ (X\cap \mathbb{P})\cup (Y\cap\mathbb{P}) = \lbrace\,3\,\rbraceを示せば十分である.
以下, 判別式$ D = 37が0より大きいことから, 一般化SNNN数 Prop. 1 (1.)より狭義単調増加性を仮定する. $ X\cap\mathbb{P} = \lbrace\,3\,\rbrace: $ S_{11}(0) = 3は素数だから$ \supseteqはよい. (1.)より$ \forall k\in\mathbb{N}. $ 0\lt k\implies (S_{11}(0) = 3\lt S_{11}(2k))\land (3\mid S_{11}(2k)). 即ち$ 1\leq kの場合$ S_{11}(2k)は3を約数に持つ3よりも大きい自然数であるから合成数. このため素数であるならば$ k = 0である.
$ Y\cap\mathbb{P} = \emptyset: (2.)より$ \forall k\in\mathbb{N}. $ 0\lt k\implies (S_{11}(1) = 40\lt S_{11}(2k+1))\land (2\mid S_{11}(2k+1)). $ Yに含まれる元で最も小さいものは$ S_{11}(1) = 40であり, その他の元はすべてこれより大きいと同時に2を約数にもつ. したがって, いずれの元も2を約数に含む合成数である. $ \Box
Statement (formal) for Lem. A
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ 2\mid n\iff 2^n\equiv 1\pmod 3.
Proof
$ \Longrightarrow: $ \exists k\in\mathbb{N}. $ n = 2k. $ 2^{2k}\equiv 4^k \equiv 1^k \equiv 1\pmod 3.
$ \Longleftarrow: 対偶を示す. $ 2\nmid n即ち$ \exists k\in\mathbb{N}. $ n = 2k+1. とするとき, $ 2^{2k+1} \equiv 2^{2k}\cdot 2\equiv 1\cdot 2\equiv 2\not\equiv 1\pmod 3. $ \Box