ベクトルの積
ドット積とクロス積という単語に馴染みが無い（内積と外積という派）dokudami.icon 演算子的に確かにドットとクロスだなぁ（なるほど）
「内」「外」が演算内容と全く関係ないので好きじゃないtakker.icon
と思ったけど、次元から解釈すると筋が通るのか……まじか……
まだまだ自分の知らない解釈があるんだなぁ。これだから数学はやめられない
dot積とcross積派takker.icon
はじめて聞きました 増井俊之.icon
理解できる。派っていうか、NumpyとかだとA.dot(B)だからその文脈で解釈する気持ちnishio.icon
outerもね
演算の意味を考えるなら、scalar積とvector積のほうがいいかもtakker.icon
計算はできるけど、直感的イメージがまだ掴めていないblu3mo.icon
現状「なんかよく分からんけど変な計算をするんだな、物理で使えるのは分かったけどまだ定義がしっくりこないな」という気持ちblu3mo.icon
個人的には二つのベクトルの関係を調べるための尺度みたなイメージだなぁdokudami.icon
2つの点だったら、距離という尺度がある
どっちかを基準にすれば向き（ベクトル）という尺度がある（相対的に）
これと同じように2つのベクトル間の関係を調べる尺度の一つが内積と外積、みたいな？dokudami.icon
なにかを扱うためには、その何か同士の関係を尺度として取り出さないと話が始まらない、みたいな
これは、数学的概念を定義する側からの視点かなぁdokudami.icon
確かに
このまだ定義がしっくりこないなという気持ちは本当にすごーーーく大事です！！！takker.icon
こういう疑問を「そういうもの」で片付けず、ぜひじっくり考えてほしい
前提として、一次元のベクトル（スカラー値）ならドット積でもクロス積でも答えは同じ それをn次元に拡張する時の二つの解釈がドットとクロス、ということか
この計算に関して1次元から考えるのは筋が良くない気がするtakker.icon
1次元のことを考えても殆ど意味がない
次元を減らすと同じ演算になるのはよくあること
計算の直観的イメージを掴みたいときは、dot積の場合は2 - 3次元、cross積の場合は3次元で考えるのがおすすめ
一次元の掛け算のある側面をそれぞれ捉えて一般化した結果がdot/crossなのかな、というイメージを持っているblu3mo.icon
その認識予想が合ってるならその「側面」を知りたい気がするblu3mo.icon
数学・物理では、認識、つまり解釈について合っている合っていないは、数式と矛盾しない限り気にしなくてもいいとtakker.iconは思います
/icons/なるほど.iconblu3mo.icon
物理だと、宇宙論や量子論の解釈がそれ
量子論だと確か現在はコペンハーゲン解釈が一般的だけど、量子論を構築する数式自体にそのことが含まれているわけではなく、単にその数式を理解するのによく使われるもっともらしい解釈がコペンハーゲン解釈だっただけ 実際には他の解釈もいくつかある(何だったかは忘れた)
その演算を理解するのに向いている解釈かどうかはありますね
そのイメージは考えたことなかったですtakker.icon
実際それは面白いと思いますが、物理現象と結びつけたり直観的・図解的に理解する際には逆に障害になるかも
一次元の掛け算の拡張という視点から考えるなら、他の積のことも視野に入れたほうがいいかも
dot積とcross積以外にも掛け算の拡張方法は存在するということ
気になる👀blu3mo.iconblu3mo.icon
クロス積がそもそも3次元で定義されたもので(言葉は揺れてる、歴史的には外積と呼ばれてたこともあるはず)それを一般の次元に拡張したのが外積、という立場の解説nishio.icon
とはいえ、別の視点から解釈するのは大事ですし、突き詰めると面白い解釈が生まれるかもしれません。挑戦してみるのは有意義なことだと思います
内積・外積の積って、掛け算という意味の積なんだろうか、それとも群論でいうような二項演算一般を指す積なんだろうか？yosider.icon
ここでは一応狭義の積としているけど、dot積の中に加算が含まれいるし、きっちり積として扱うのは難しそうtakker.icon
そもそも「群論で言うような二項演算」ってG×G→Gなので、ベクトルとベクトルを掛けてスカラーになっちゃう内積は演算がベクトルに閉じてないよねnishio.icon
せやせやtakker.icon
掛け算の拡張として考えられるとは限らない気はするyosider.icon
群は、以下の仮定があるので内積と外積どちらもあてはまりませんねmiyamonz.icon
内積は違う
外積はベクトルの二項演算ではあるが
外積は結合法則をみたさない
$ ( A \times B ) \times C \ne A \times ( B \times C)
↑内積と外積、積という単語があるけど二項演算ではないというの意識したことなかったなmiyamonz.icon
気になって、productとかmultiplyとかの単語を調べたけどピンとこなかったmiyamonz.icon
積は、掛け算等の結果として得られる値のことで、演算自体にはフォーカスしてない単語と捉えればいいのかも？miyamonz.icon
定義のソース(?)は物理現象?（dot: 仕事の計算, cross: 電磁力の計算)
dot積のイメージは2つtakker.icon
ベクトルから特定方向成分へのベクトルを取り出す
これがdot積のいちばん重要な幾何学的イメージだと思う
e.g.
$ \pmb{e}_x:=(1,0)^\topとしたとき、vector $ \pmb{a}のx方向成分は$ \pmb{a}\cdot\pmb{e}_xで求まる
注：単位vector以外でdot積をとると、そのvectorの長さもかかってくるので厳密に射影というわけではない
ちゃんと任意方向のvectorの成分を取るときは$ \pmb{a}\cdot\pmb{\hat b}とする
片方のベクトルの方向で、もう片方のベクトルの成分を取り出して掛け算をする、と言う感覚かblu3mo.icon
そうそうtakker.icon
シンプルな計算でそれができるなら確かに掛け算の定義として採用するな、納得しました🙏🙏blu3mo.icon
すごく便利
2つのvectorsに関わる量を測る
長さを測る
$ |\pmb{a}|:=\sqrt{\pmb{a}\cdot\pmb{a}}
まあこれは簡単
vectors同士の「近さ」を測る
$ \pmb{a}\cdot\pmb{b}=|\pmb{a}||\pmb{b}|\cos\thetaより、$ 0\le\pmb{a}\cdot\pmb{b}\le|\pmb{a}||\pmb{b}|
$ \pmb{a}と$ \pmb{b}が同じ方向を向いているとき最大($ |\pmb{a}||\pmb{b}|)になる
方向がずれていくにつれ小さくなり、直交するところで最小($ 0)になる
この概念は一般的なvectorにも通用するはず
vector同士の近さを類似度としている
上記に上げたのは全て幾何学的解釈
他にも数列的な解釈もある
$ \pmb{a}\cdot\pmb{b}=\sum_i a_ib_i
計算方法を覚えるにはこっちのほうが楽
takker.iconがdot積を理解する取っ掛かりとしておすすめするのは幾何学的解釈だが、他の解釈を知る(別の視点からみる)のも重要だし面白い この説明も面白いblu3mo.icon
余弦定理と$ (a-b)^2が似ているの気づかなかった、確かに vectorの二乗を$ |\pmb{a}|^2(=\pmb{a}\pmb{a})と解釈する技takker.icon
運動energyのvector ver.とかでも使う
あーこの説明うまいなあtakker.icon
これ、似ているというだけじゃなくて、θが0のときcosθが1になって、式として同値になるねmiyamonz.icon
ある特殊な条件にすると初等的な演算法則と一致する点は確かにそうtakker.icon
cross積は「回転」を作っているとイメージすればいいと思うtakker.icon
幾何vectorに関しては
外積代数とかwedge積の話はよくわからないので割愛
外積で面積計算できることが忘れられがち 増井俊之.icon これめっちゃ便利takker.icon
三角形$ ABCの面積を$ \frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|で求められる
内積と組み合わせれば平行六面体の体積も簡単に求まる 面積速度という謎概念もこのことを知っていると理解できる 長さだけ見ればそれはaとbが貼る平行四辺形の面積
$ | \bm a \times \bm b | = |\bm a| | \bm b| \sin \theta
内積と似たような形になっている
cosとsinが違う
外積はさらに、スカラ値だけじゃなくて、向きも情報として持っているということになる
なんでcosなのか、という疑問自体は、そのとおりsinの場合の積もありますよ、と答えることも可能
内積と外積のcosやsinの意味を無理やり日本語にすれば
内積→各々のベクトルが、どれくらい同じ向きになっているか
外積→各々のベクトルが、どれくらい直交しているか
ただしどちらも、ベクトルを定数倍したらその値も比例して変化するような値として扱いたい
といった解釈ができるmiyamonz.icon
電磁誘導という物理現象、まさに外積の概念という感じがするmiyamonz.icon
外積という概念が生まれるのと、電磁誘導の発見？ってどっちが先なんだろ
この辺の話がどこかの本に書いてあった気がするtakker.icon
候補は思い浮かぶので、そのうち機会があったら読み直して探してみる