内積
ドット表記で
体$ K上のベクトル空間$ Vの 2 つの元から体$ Kへの写像
$ \cdot:V\times V\to K
が、
以下の公理を満たす時に内積という
共軛対称性: $ \bm x\cdot \bm y=(\bm y\cdot \bm x)^*
エルミート対称性とも
第一引数に対する線型性: $ (a\bm x+\bm y)\cdot \bm z=a\bm x\cdot \bm z+a\bm y\cdot \bm z
正定値性: $ \bm x\cdot\bm x\ge 0
非退化性: $ \bm x\cdot\bm x=0\Leftrightarrow\bm x=\bm 0
練習問題
1. 共軛対称性と第一引数に対する線型性から第二引数に対する共軛線形成(以下の式)を導け
$ \bm x\cdot(a\bm y+\bm z)=\bar a\bm x\cdot \bm y+\bar a\bm x\cdot \bm z
2. 共軛が自身となる$ x^*=xような体に対する双線型性を導け。
第一引数に対する線型性は既に成り立っているので、第二引数に対する線型性を導けば良い。