音楽同型 - くたくたじゅうよん

音楽同型

計量線型空間$ (V,K,\cdot_{K\times V},\bullet\cdot\bullet)にて、音楽同型$ \bm\sharp:\underline{V^*}\to\underline{V},\flat:\underline{V}\to\underline{V^*}を次のように定義する

$ \bm\sharp:\underline{V^*}\ni\alpha\mapsto\in\sum_i\alpha(\bar\bm e_i)\bm e_i\in\underline{V}

$ \flat:\underline{V}\ni\bm v\mapsto(\bm u\mapsto\bm v\cdot\bm u)\in\underline{V^*}

ここで、

$ V^*：線型空間$ Vの双対空間

$ \bm e_i：$ Vにおける任意の基底

どの基底でも成立する

$ \bar\bm e_i：$ \bm e_iの双対基底

記号はtensorの成分表示などを参照(説明あんまりないかも)

性質

$ \forall \alpha\in\underline{V^*}\forall\bm u\in\underline{V};\alpha(\bm u)=\bm\sharp\alpha\cdot\bm u

$ \forall\bm v,\bm u\in\underline{V};\flat\bm v(\bm u)=\bm v\cdot\bm u

その対応に音楽同型という名前をつけたということである

記号のイメージ

反変vector$ \bm vの成分は上付き添字$ v^iを、共変vector$ \alphaの成分は下付き添字$ \alpha_iを使う

$ \bm\sharpは共変vectorから反変vectorへの変換なので添字を「上げる」操作である

$ \flatは反変vectorから共変vectorへの変換なので添字を「下げる」操作である

$ \sharpは半音「上げる」音楽記号

$ \flatは半音「下げる」音楽記号

この上げ下げを対応させている

表記

$ \bm\sharpはvectorを返す函数なので、太字表記にした

あくまでtakker.iconの独断

Referencesでは普通の字体となっている

References