開核公理系⇔Kuratowskiの閉包公理系

開核$ \bullet^\circ:2^X\to2^Xと閉包$ \overline{\bullet}:2^X\to2^Xは同じ空間を構成するので、どちらを位相空間の定義に採用しても構わない

$ \begin{dcases}\text{(I1) }X^\circ =X\\\text{(I2) }\forall A\in2^X:A^\circ\subseteq A\\\text{(I3) }\forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ\\\text{(I4) }\forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ\\\text{(I0) }\overline{\bullet}:2^X\ni A\mapsto X\setminus(X\setminus A)^\circ\in2^X\end{dcases}\iff\begin{dcases}\text{(K1) }\overline\varnothing=\varnothing\\\text{(K2) }\forall A\in2^X:A\subseteq\overline A\\\text{(K3) }\forall A,B\in 2^X:\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B\\\text{(K4) }\forall A\in2^X:\overline{\overline{A}}=\overline{A}\\\text{(K0) }\bullet^\circ:2^X\ni A\mapsto X\setminus\overline{X\setminus A}\in2^X\end{dcases}

開核と閉包の相互変換の根拠となる

proof

(I4)⇔(K4)以外は擬開核の公理⇔擬閉包の公理を参照

(I4)⇔(K4)$ \forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ

$ \iff\forall A\in2^X:{(X\setminus A)^\circ}^\circ=(X\setminus A)^\circ

$ \iff\forall A\in2^X:X\setminus{(X\setminus A)^\circ}^\circ=X\setminus(X\setminus A)^\circ

$ =\overline{A}

$ \because(I0)

$ \iff\forall A\in2^X:X\setminus(X\setminus X\setminus(X\setminus A)^\circ)^\circ=\overline{A}

$ \iff\forall A\in2^X:X\setminus(X\setminus\overline{A})^\circ=\overline{A}

$ \because(I0)

$ \underline{\iff\forall A\in2^X:\overline{\overline{A}}=\overline{A}\quad}_\blacksquare

$ \because(I0)

#2026-05-12 11:25:37