擬開核の公理⇔擬閉包の公理
擬開核$ \bullet^\circ:2^X\to2^Xと擬閉包$ \overline{\bullet}:2^X\to2^Xは同じ空間を構成する $ \begin{dcases}\text{(I1) }X^\circ =X\\\text{(I2) }\forall A\in2^X:A^\circ\subseteq A\\\text{(I3) }\forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ\\\text{(I0) }\overline{\bullet}:2^X\ni A\mapsto X\setminus(X\setminus A)^\circ\in2^X\end{dcases}\iff\begin{dcases}\text{(K1) }\overline\varnothing=\varnothing\\\text{(K2) }\forall A\in2^X:A\subseteq\overline A\\\text{(K3) }\forall A,B\in 2^X:\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B\\\text{(K0) }\bullet^\circ:2^X\ni A\mapsto X\setminus\overline{X\setminus A}\in2^X\end{dcases}
proof
双対性が成立するので、$ X\setminusを使って変形していけばいい
(I1)⇔(K1)$ X^\circ=X
$ \iff(X\setminus\varnothing)^\circ=X
$ \iff X\setminus(X\setminus\varnothing)^\circ=X\setminus X
$ \underline{\iff\overline{\varnothing}=\varnothing\quad}_\blacksquare
$ \because(I0)
(I2)⇔(K2)$ \forall A\in2^X:A^\circ\subseteq A
$ \iff\forall A\in2^X:(X\setminus A)^\circ\subseteq X\setminus A
$ \iff\forall A\in2^X:X\setminus(X\setminus A)\subseteq X\setminus(X\setminus A)^\circ
$ \iff\forall A\in2^X:A\subseteq X\setminus(X\setminus A)^\circ
$ \underline{\iff\forall A\in2^X:A\subseteq\overline{A}\quad}_\blacksquare
$ \because(I0)
(I3)⇔(K3)$ \forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ
$ \iff\forall A,B\in2^X:((X\setminus A)\cap(X\setminus B))^\circ=(X\setminus A)^\circ\cap(X\setminus B)^\circ
$ \iff\forall A,B\in2^X:(X\setminus(A\cup B))^\circ=(X\setminus A)^\circ\cap(X\setminus B)^\circ
$ \iff\forall A,B\in2^X:X\setminus (X\setminus(A\cup B))^\circ=X\setminus((X\setminus A)^\circ\cap(X\setminus B)^\circ)
$ =X\setminus(X\setminus A)^\circ\cup X\setminus(X\setminus B)^\circ
$ \underline{\iff\forall A,B\in2^X:\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\quad}_\blacksquare
$ \because(I0)
(I0)⇔(K0)$ \forall A\in2^X:\overline{A}=X\setminus(X\setminus A)^\circ
$ \iff\forall A\in2^X:\overline{X\setminus A}=X\setminus(X\setminus(X\setminus A))^\circ
$ =X\setminus A^\circ
$ \iff\forall A\in2^X:X\setminus\overline{X\setminus A}=X\setminus(X\setminus A^\circ)
$ = A^\circ
$ \underline{\iff\forall A\in2^X:A^\circ=X\setminus\overline{X\setminus A}\quad}_\blacksquare