距離空間から位相空間を誘導できる
距離空間$ (X,d)と開球体$ B_\varepsilon(x)で作った$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\forall x\in O\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq O\}は$ X上の位相となり、これを距離位相と呼ぶ集合と位相07位相空間例15.3 証明
$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\forall x\in O\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq O\}が開集合系の公理を満たすことを示す (O2)$ \forall O_1,O_2:
$ O_1,O_2\in\mathcal O
$ \iff\begin{dcases}\forall x\in O_1\exist\varepsilon_1>0:B_{\varepsilon_1}(x)\subseteq O_1\\\forall x\in O_2\exist\varepsilon_2>0:B_{\varepsilon_2}(x)\subseteq O_2\end{dcases}
$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2\exist\varepsilon_1>0\exist\varepsilon_2>0:B_{\varepsilon_1}(x)\cap B_{\varepsilon_2}(x)\subseteq O_1\cap O_2
$ \iff\forall x\in O_1\cap O_2\exist\varepsilon_1>0\exist\varepsilon_2>0:B_{\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}(x)\subseteq B_{\varepsilon_1}(x)\cap B_{\varepsilon_2}(x)\subseteq O_1\cap O_2
$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2\exist\varepsilon_1>0\exist\varepsilon_2>0:B_{\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}(x)\subseteq O_1\cap O_2
$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2\exist\varepsilon_{12}>0:B_{\varepsilon_{12}}(x)\subseteq O_1\cap O_2
$ \varepsilon_{12}=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}とした
$ \iff O_1\cap O_2\in\mathcal O
$ \underline{\therefore\forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O\quad}_\blacksquare
(O1)$ \forall x\in X\forall\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq Xだから成立
(O3)$ \forall\mathcal O':
$ \mathcal O'\subseteq\mathcal O
$ \implies\forall x:
$ x\in\bigcup\mathcal O'
$ \iff\exist O\in\mathcal O':x\in O
$ \iff\exist O\in\mathcal O':x\in O\land\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq O
$ \iff\exist O\in\mathcal O'\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq O
$ \iff\exist\varepsilon>0\exist O\in\mathcal O':B_\varepsilon(x)\subseteq O
$ \iff\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq\bigcup\mathcal O'
$ \implies\forall x\in\bigcup\mathcal O'\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq\bigcup\mathcal O'
$ \iff\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O
$ \underline{\therefore\forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O\quad}_\blacksquare
もっとすっきりさせたいtakker.icon
逆に、任意の位相空間の位相$ \mathcal Oが距離位相となるとき、この位相$ \mathcal Oは距離化可能であるという集合と位相07位相空間例15.3 $ \mathcal N(x)を開球体$ B_r(p)を使って次のように定義する $ \forall x\in X:\mathcal N(x)=\{O\in2^X|\exist r>0:B_r(x)\subseteq O\}
このとき$ \mathcal N(x)は全近傍系となる よって$ \mathcal O=\{O\in2^X|\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)\}とすれば、$ (X,\mathcal O)が位相空間になる References