距離位相
距離空間$ (X,d)と開球体$ B_\varepsilon(x)で作った$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\forall x\in O\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq O\}のこと この$ \mathcal Oは$ X上の位相となる $ \mathcal Oが距離位相のとき、他の位相の概念は次のように表される
開核$ x\in A^\circ\iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A $ \iff\exist O\in2^X\forall o\in O\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(o)\subseteq O\subseteq A\land x\in O
$ \iff\exist O\in2^A\forall o\in O\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(o)\subseteq O\land x\in O
$ \implies\exist\varepsilon>0:x\in B_\varepsilon(x)\subseteq A
$ \implies\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A
$ \because(☆)
$ \therefore A^\circ=\{x\in X\mid\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq A\}
全近傍系$ \mathcal N(x)=\{N\in2^X\mid x\in N^\circ\} $ =\{N\in2^X\mid\exist\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subseteq N\}
$ \forall\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\in\mathcal Oー(☆)
方針
$ B_{\varepsilon-d(x,y)}(y)\subseteq B_\varepsilon(x)を使えばいい
証明
$ \forall\varepsilon>0\forall x,y,z\in X:(d(z,y)+d(y,x)<\varepsilon\implies d(x,z)<\varepsilon)
$ \implies\forall\varepsilon>0\forall x,y\in X:(d(x,y)<\varepsilon\implies\forall z\in X:(d(z,y)<\varepsilon-d(x,y)\implies d(x,z)<\varepsilon))
$ \iff\forall\varepsilon>0\forall x\in X\forall y\in B_\varepsilon(x)\forall z\in B_{\varepsilon-d(x,y)}(y):z\in B_\varepsilon(x)
$ \because\varepsilon-d(x,y)>0
$ \iff\forall\varepsilon>0\forall x\in X\forall y\in B_\varepsilon(x):B_{\varepsilon-d(x,y)}(y)\subseteq B_\varepsilon(x)
$ \iff\forall\varepsilon>0\forall x\in X\forall y\in B_\varepsilon(x)\exist\delta>0:B_\delta(y)\subseteq B_\varepsilon(x)
$ \varepsilon-d(x,y)=\deltaで置き換えた
$ \iff\forall\varepsilon>0\forall x\in X:B_\varepsilon(x)\in\mathcal O