集合と位相07位相空間
位相空間$ (X,\mathcal O)には3つの同値な定式化がある $ \mathcal N:2^X\to2^{2^X}を全近傍系、$ \bullet^\circ:2^X\to2^Xを内部とする 1. 1$ X\in\mathcal O
1. 2$ \forall U,V\in\mathcal O,U\cap V\in\mathcal O
1. 3 $ \forall\mathcal U\subseteq\mathcal O.\bigcup\mathcal U\in\mathcal O
1. 4 $ \forall U\in2^X.U^\circ=\bigcup\{O\in\mathcal O|O\subseteq U\}
1. 5 $ \forall x\in X.\mathcal N(x)=\operatorname{fil}\{O\in\mathcal O|x\in O\}
2. 1$ \forall x\in X.\mathcal N(x)が$ (2^X,\subseteq)上のfilter (数学)となる 2. 2$ \forall x\in X\forall U\in\mathcal N(x).x\in U
2. 3 $ \forall x\in X\forall U\in\mathcal N(x).U^\circ\in\mathcal N(x)
2. 4 $ \forall U\in2^X.U^\circ=\{y\in X|U\in\mathcal N(y)\}
2. 5 $ \mathcal O=\{O\in2^X|\forall x\in O.O\in\mathcal N(x)\}
3. 1 $ X^\circ=X
3. 2 $ \forall A\in2^X.A^\circ\subseteq A
3. 3 $ \forall A,B\in2^X.A\subseteq B\implies A^\circ\subseteq B^\circ
3. 4 $ \forall A\in2^X.{A^\circ}^\circ=A
3. 5 $ \forall A,B\in2^X.(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ
3. 6 $ \mathcal O=\{O\in2^X|O^\circ=O\}
3. 7 $ \forall x\in X.\mathcal N(x)=\{U\in2^X|x\in U^\circ\}