複外積メモ
$ [\bm A\times\times\bm B]_{ij}=\varepsilon_{ikl}A_{km}B_{ln}\varepsilon_{mnj}
$ \bm A\times\times\bm B=\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I
$ = \bm A\cdot({\cal\pmb I}-\bm I\bm I):\bm B+\bm B\cdot({\cal\pmb I}-\bm I\bm I):\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I
$ = \bm A:({\cal\pmb I}-\bm I\bm I)\cdot\bm B+\bm B:({\cal\pmb I}-\bm I\bm I)\cdot\bm A+\bm A:\bm I\bm I\bm I:\bm B-\bm I\bm I:\bm A^\top\cdot\bm B
$ \bm A\cdot({\cal\pmb I}-\bm I\bm I):\bm B=\bm A\cdot\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A
$ \bm A:({\cal\pmb I}-\bm I\bm I)\cdot\bm B=\bm A\cdot\bm B-({\rm tr}\bm A)\bm B
$ ({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B=A_{00}B_{00}+A_{00}B_{11}+A_{11}B_{00}+A_{11}B_{11}-A_{00}B_{00}-A_{01}B_{01}-A_{10}B_{10}-A_{11}B_{11}
$ = A_{00}B_{11}-A_{01}B_{01}+A_{11}B_{00}-A_{10}B_{10}
証明
展開方法がパッと思いつかない
両辺を成分表示して証明するしか無いだろう
そのあと構造を調べる
$ [\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I]_{ij}
$ = A_{ik}B_{kj}+B_{ik}A_{kj}-A_{kk}B_{ij}-B_{kk}A_{ij}+(A_{kk}B_{ll}-A_{kl}B_{kl})\delta_{ij}
$ i=jのとき
$ = 2A_{ik}B_{ki}-2A_{kk}B_{ii}+A_{kk}B_{ll}-A_{kl}B_{kl}
$ k,lで和をとっている
$ = 2A_{ii}B_{ii}-2A_{ii}B_{ii}+A_{ii}B_{ll}-A_{il}B_{il}
$ + 2A_{ij}B_{ji}-2A_{jj}B_{ii}+A_{jj}B_{ll}-A_{jl}B_{jl}
$ + 2A_{ik}B_{ki}-2A_{kk}B_{ii}+A_{kk}B_{ll}-A_{kl}B_{kl}
$ \{i,j,k\}=\{0,1,2\}とした
$ lで和をとっている
$ = A_{ii}B_{ll}-A_{il}B_{il}
$ + 2A_{ij}B_{ji}-A_{jj}B_{ii}+A_{jj}(B_{jj}+B_{kk})-A_{jl}B_{jl}
$ + 2A_{ik}B_{ki}-A_{kk}B_{ii}+A_{kk}(B_{jj}+B_{kk})-A_{kl}B_{kl}
$ = A_{ii}B_{ll}-A_{ii}B_{ii}
$ + A_{ij}B_{ji}-A_{jj}B_{ii}+A_{jj}B_{kk}-A_{ji}B_{ji}-A_{jk}B_{jk}
$ + A_{ik}B_{ki}-A_{kk}B_{ii}+A_{kk}B_{jj}-A_{ki}B_{ki}-A_{kj}B_{kj}
05:24:28 ↑計算ミス
左辺は
$ \varepsilon_{ikl}A_{km}B_{ln}\varepsilon_{mni}=(\delta_{km}\delta_{ln}-\delta_{kn}\delta_{lm})A_{km}B_{ln}
$ k,lは$ i以外で和をとる
$ k\neq l
$ m,nで和をとる
$ =(\delta_{km}\delta_{jn}-\delta_{kn}\delta_{jm})A_{km}B_{jn}+(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km})A_{jm}B_{kn}
$ \{i,j,k\}=\{0,1,2\}とした
$ m,nで和をとる
$ =A_{kk}B_{jj}-A_{kj}B_{jk}+A_{jj}B_{kk}-A_{jk}B_{kj}
あわなくなっちゃった
計算し直し
$ \varepsilon_{ikl}A_{km}B_{ln}\varepsilon_{mnj}=\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jmn}A_{km}B_{ln}
$ =\varepsilon_{iol}\varepsilon_{jmn}A_{om}B_{ln}
$ j=iとして、
$ =\varepsilon_{ijl}\varepsilon_{imn}A_{jm}B_{ln}+\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{imn}A_{km}B_{ln}
$ \{i,j,k\}=\{0,1,2\}とした
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}A_{jm}B_{kn}+\varepsilon_{ikj}\varepsilon_{imn}A_{km}B_{jn}
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}(A_{jm}B_{kn}-A_{km}B_{jn})
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}(A_{jj}B_{kk}-A_{kj}B_{jk})+\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ikj}(A_{jk}B_{kj}-A_{kk}B_{jj})
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}(A_{jj}B_{kk}-A_{kj}B_{jk}-A_{jk}B_{kj}+A_{kk}B_{jj})
$ =A_{jj}B_{kk}-A_{kj}B_{jk}-A_{jk}B_{kj}+A_{kk}B_{jj}
$ i\neq jとして、
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jmn}A_{jm}B_{kn}+\varepsilon_{ikj}\varepsilon_{jmn}A_{km}B_{jn}
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jmn}(A_{jm}B_{kn}-A_{km}B_{jn})
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jki}(A_{jk}B_{ki}-A_{kk}B_{ji})+\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jik}(A_{ji}B_{kk}-A_{ki}B_{jk})
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jki}(A_{jk}B_{ki}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}+A_{ki}B_{jk})
$ =A_{jk}B_{ki}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}+A_{ki}B_{jk}
$ A_{io}B_{oj}+B_{io}A_{oj}-A_{oo}B_{ij}-B_{oo}A_{ij}+(A_{oo}B_{ll}-A_{ol}B_{ol})\delta_{ij}
$ i=jとして
$ = A_{io}B_{oi}+B_{io}A_{oi}-A_{oo}B_{ii}-B_{oo}A_{ii}+A_{oo}B_{ll}-A_{ol}B_{ol}
$ = \cancel{A_{ii}B_{ii}}\cancel{+B_{ii}A_{ii}}\cancel{-A_{ii}B_{ii}}\cancel{-B_{ii}A_{ii}}+A_{ii}B_{ll}-A_{il}B_{il}
$ + A_{ij}B_{ji}+B_{ij}A_{ji}-A_{jj}B_{ii}-B_{jj}A_{ii}+A_{jj}B_{ll}-A_{jl}B_{jl}
$ + A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}-A_{kk}B_{ii}-B_{kk}A_{ii}+A_{kk}B_{ll}-A_{kl}B_{kl}
$ \{i,j,k\}=\{0,1,2\}とした
$ = A_{ii}B_{ll}-A_{il}B_{il}
$ + A_{ij}B_{ji}+B_{ij}A_{ji}-A_{jj}B_{ii}-B_{jj}A_{ii}+A_{jj}B_{ll}-A_{jl}B_{jl}
$ + A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}-A_{kk}B_{ii}-B_{kk}A_{ii}+A_{kk}B_{ll}-A_{kl}B_{kl}
$ = \cancel{A_{ii}B_{ii}}\cancel{-A_{ii}B_{ii}}\cancel{+ A_{ii}B_{jj}}-A_{ij}B_{ij}\cancel{+A_{ii}B_{kk}}-A_{ik}B_{ik}
$ +A_{ij}B_{ji}+B_{ij}A_{ji}-A_{jj}B_{ii}\cancel{-B_{jj}A_{ii}}
$ +A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}-A_{kk}B_{ii}\cancel{-B_{kk}A_{ii}}
$ +A_{jj}B_{ii}-A_{ji}B_{ji}
$ + A_{kk}B_{ii}-A_{ki}B_{ki}
$ \cancel{+A_{jj}B_{jj}}\cancel{-A_{jj}B_{jj}}
$ +A_{kk}B_{jj}-A_{kj}B_{kj}
$ +A_{jj}B_{kk}-A_{jk}B_{jk}
$ \cancel{+A_{kk}B_{kk}}\cancel{-A_{kk}B_{kk}}
$ =-A_{ij}B_{ij}-A_{ik}B_{ik}
$ +A_{ij}B_{ji}+B_{ij}A_{ji}\cancel{-A_{jj}B_{ii}}
$ +A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}\cancel{-A_{kk}B_{ii}}
$ \cancel{+A_{jj}B_{ii}}-A_{ji}B_{ji}
$ \cancel{+ A_{kk}B_{ii}}-A_{ki}B_{ki}
$ +A_{kk}B_{jj}-A_{kj}B_{kj}
$ +A_{jj}B_{kk}-A_{jk}B_{jk}
合わないんだが?
$ i\neq jとして
$ = A_{io}B_{oj}+B_{io}A_{oj}-A_{oo}B_{ij}-B_{oo}A_{ij}
$ =\cancel{A_{ii}B_{ij}}\cancel{+B_{ii}A_{ij}}\cancel{-A_{ii}B_{ij}}\cancel{-B_{ii}A_{ij}}
$ \cancel{+A_{ij}B_{jj}}\cancel{+B_{ij}A_{jj}}\cancel{-A_{jj}B_{ij}}\cancel{-B_{jj}A_{ij}}
$ +A_{ik}B_{kj}+B_{ik}A_{kj}-A_{kk}B_{ij}-B_{kk}A_{ij}
項数はあっているが、添字が一致しない
$ \bm A,\bm Bを転置すれば一致する
$ [\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I]_{ii}
$ ({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B=A_{oo}B_{ll}-A_{ol}B_{ol}
$ =(A_{ii}+A_{jj}+A_{kk})B_{ll}-A_{il}B_{il}-A_{jl}B_{jl}-A_{kl}B_{kl}
$ = A_{ii}B_{jj}+A_{jj}B_{kk}+A_{kk}B_{ii}+B_{ii}A_{jj}+B_{jj}A_{kk}+B_{kk}A_{ii}
$ -A_{ij}B_{ij}-A_{jk}B_{jk}-A_{ki}B_{ki}
$ -A_{ik}B_{ik}-A_{ji}B_{ji}-A_{kj}B_{kj}
$ [\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+]_{ij}
$ = A_{io}B_{oj}+B_{io}A_{oj}-A_{oo}B_{ij}-B_{oo}A_{ij}
$ = A_{ii}B_{ij}+B_{ii}A_{ij}-A_{ii}B_{ij}-B_{ii}A_{ij}
$ + A_{ij}B_{jj}+B_{ij}A_{jj}-A_{jj}B_{ij}-B_{jj}A_{ij}
$ +A_{ik}B_{kj}+B_{ik}A_{kj}-A_{kk}B_{ij}-B_{kk}A_{ij}
$ = A_{ik}B_{kj}+B_{ik}A_{kj}-A_{kk}B_{ij}-B_{kk}A_{ij}
$ \therefore [\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I]_{ij}
$ =A_{ik}B_{kj}+B_{ik}A_{kj}-A_{kk}B_{ij}-B_{kk}A_{ij}
($ i\ne j)
$ \therefore [\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I]_{ii}
$ = A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}\cancel{-A_{kk}B_{ii}}\cancel{-B_{kk}A_{ii}}
$ +A_{ii}B_{jj}+A_{jj}B_{kk}\cancel{+A_{kk}B_{ii}}+B_{ii}A_{jj}+B_{jj}A_{kk}\cancel{+B_{kk}A_{ii}}
$ -A_{ij}B_{ij}-A_{jk}B_{jk}-A_{ki}B_{ki}
$ -A_{ik}B_{ik}-A_{ji}B_{ji}-A_{kj}B_{kj}
2023-11-10 07:54:57 解けないよ~~~
$ \therefore \varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jmn}A_{km}B_{ln} =\begin{dcases}A_{pp}B_{qq}+A_{qq}B_{pp}-A_{qp}B_{pq}-A_{pq}B_{qp}&\text{if }i=j,\{i,p,q\}=\{0,1,2\}\\-A_{ji}B_{kk}-A_{kk}B_{ji}+A_{ki}B_{jk}+A_{jk}B_{ki}&\text{if }i\ne j\end{dcases}
$ 0=\begin{dcases}\partial_j^2B_{kk}+\partial_k^2B_{jj}-\partial_j\partial_k(B_{jk}+B_{kj})&\text{if }i=j\\-\partial_i\partial_jB_{kk}-\partial_k^2B_{ji}+\partial_i\partial_kB_{jk}+\partial_j\partial_kB_{ki}&\text{if }i\ne j\end{dcases}
$ \iff \partial_i\partial_jB_{kk}+\partial_k^2B_{ji}-\partial_i\partial_kB_{jk}-\partial_j\partial_kB_{ki}=0
$ \{i,j,k\}=\{0,1,2\}もしくは$ i=j\ne kの条件で導出したが、$ i=k\lor j=k\lor i=j=kでも成立するので、$ i,j,kは任意で構わない
対称tensorの場合
$ \bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm B)+\bm\nabla^2\bm B-\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm B)-\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm B)^\top=\bm 0
$ \bm B=\bm\varepsilon=\frac1{9K}{\rm tr}(\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}:\bm\sigmaを代入する
$ \frac1{3K}\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)+\frac1{9K}\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}{\cal\pmb D}:\bm\nabla^2\bm\sigma
$ {\rm tr}\bm\varepsilon=\frac1{3K}{\rm tr}\bm\sigma
$ \bm\nabla^2\bm\varepsilon=\frac1{9K}\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I+\frac1{2G}(\bm\nabla^2\bm\sigma-\bm\nabla^2({\rm tr}\bm\sigma)\bm I/3)
$ \bm\nabla\cdot\bm\varepsilon=\frac1{9K}\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)+\frac1{2G}(\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)/3)
$ \bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)=\frac1{9K}\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)+\frac1{2G}(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma-\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)/3)
$ \bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top=\frac1{9K}\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)+\frac1{2G}((\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma)^\top-\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)/3)
$ \bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)+\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm\varepsilon)^\top=\frac2{9K}\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)-\frac1{3G}\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm\sigma)+\frac1G{\cal\pmb S}:(\bm\nabla\bm\nabla\cdot\bm\sigma)^\top
2023-11-18 19:27:13 $ \bm A,\bm Bともに対称tensorだった
通りであわなかったわけだ
対称tensorだとして、式を整理する
$ \varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jmn}A_{km}B_{ln} =\begin{dcases}A_{jj}B_{kk}+A_{kk}B_{jj}-A_{kj}B_{jk}-A_{jk}B_{kj}&\text{if }i=j\\-A_{ji}B_{kk}-A_{kk}B_{ji}+A_{ki}B_{jk}+A_{jk}B_{ki}&\text{if }i\ne j\end{dcases}
いやまて、太字記法に変換できるかも?
$ \bm A\times\times\bm B=\begin{dcases}{\rm tr}\end{dcases}
$ \bm A=\bm A^\top\land\bm B=\bm B^\topのとき
$ \bm A\times\times\bm B=\bm A\cdot\bm B+\bm B\cdot\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A+(({\rm tr}\bm A)({\rm tr}\bm B)-\bm A:\bm B)\bm I
$ \bm\nabla\bm\nabla\times\times\bm B=-\bm\nabla\times\bm B\times\overleftarrow{\bm\nabla}だから
$ \bm\nabla\bm\nabla\times\times\bm B=\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm B)+\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm B^\top)^\top-\bm\nabla^2\bm B-\bm\nabla\bm\nabla({\rm tr}\bm B)+(\bm\nabla^2({\rm tr}\bm B)-\bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm B))\bm I
ここで
$ \bm\nabla^2({\rm tr}\bm B)=\partial_i\partial_iB_{jj}
$ \bm\nabla\cdot(\bm\nabla\cdot\bm B)=\partial_k\partial_lB_{kl}