複外積を別のtensor演算でばらす
成分表示
ややこしいのでEinsteinの総和規約は使わない
$ \forall i,j\in\{0,1,2\}について、
$ \sum_{k,l,m,n}\varepsilon_{ikl}A_{km}B_{ln}\varepsilon_{mnj}=\sum_{k,l,m,n}\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jmn}A_{km}B_{ln}
$ i=jのとき
$ =\sum_{m,n}\varepsilon_{ipq}\varepsilon_{imn}A_{pm}B_{qn}+\sum_{m,n}\varepsilon_{iqp}\varepsilon_{imn}A_{qm}B_{pn}
$ \{i,p,q\}=\{0,1,2\}とした
和はとらない
$ =\sum_{m,n}\varepsilon_{ipq}\varepsilon_{imn}(A_{pm}B_{qn}-A_{qm}B_{pn})
$ =\varepsilon_{ipq}\varepsilon_{ipq}(A_{pp}B_{qq}-A_{qp}B_{pq})+\varepsilon_{ipq}\varepsilon_{iqp}(A_{pq}B_{qp}-A_{qq}B_{pp})
$ =\varepsilon_{ipq}\varepsilon_{ipq}(A_{pp}B_{qq}-A_{qp}B_{pq}-A_{pq}B_{qp}+A_{qq}B_{pp})
$ =A_{pp}B_{qq}-A_{qp}B_{pq}-A_{pq}B_{qp}+A_{qq}B_{pp}
$ =A_{kk}B_{ll}-A_{lk}B_{kl}-A_{kl}B_{lk}+A_{ll}B_{kk}
$ i\neq jのとき
$ =\sum_{m,n}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jmn}A_{jm}B_{kn}+\sum_{m,n}\varepsilon_{ikj}\varepsilon_{jmn}A_{km}B_{jn}
$ =\sum_{m,n}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jmn}(A_{jm}B_{kn}-A_{km}B_{jn})
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jki}(A_{jk}B_{ki}-A_{kk}B_{ji})+\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jik}(A_{ji}B_{kk}-A_{ki}B_{jk})
$ =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{jki}(A_{jk}B_{ki}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}+A_{ki}B_{jk})
$ =A_{jk}B_{ki}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}+A_{ki}B_{jk}
$ =A_{jk}B_{ki}+A_{ki}B_{jk}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}
$ \therefore \sum_{k,l,m,n}\varepsilon_{ikl}A_{km}B_{ln}\varepsilon_{mnj}=\begin{dcases}A_{kk}B_{ll}-A_{lk}B_{kl}-A_{kl}B_{lk}+A_{ll}B_{kk}&\text{if }i=j\land\{i,k,l\}=\{0,1,2\}\\-A_{kk}B_{ji}+A_{jk}B_{ki}+A_{ki}B_{jk}-A_{ji}B_{kk}&\text{if }\{i,j,k\}=\{0,1,2\}\end{dcases}
これを別のtensor方程式で表すのは無理そう
$ j=iとして、
$ =A_{pp}B_{qq}-A_{qp}B_{pq}-A_{pq}B_{qp}+A_{qq}B_{pp}
$ =A_{pp}B_{qq}+A_{qq}B_{pp}-A_{qp}B_{pq}-A_{pq}B_{qp}
$ = \sum_{m,n}A_{mm}B_{nn}-(A_{ii}+A_{qq})(B_{ii}+B_{qq})-(A_{ii}+A_{pp})B_{pp}-A_{pp}B_{ii}
$ -\sum_kA_{qk}B_{kq}-\sum_kA_{pk}B_{kp}+A_{qi}B_{iq}+A_{qq}B_{qq}+A_{pi}B_{ip}+A_{pp}B_{pp}
$ = \sum_{m,n}A_{mm}B_{nn}-A_{ii}B_{ii}-A_{ii}B_{qq}-A_{qq}B_{ii}-A_{ii}B_{pp}-A_{pp}B_{ii}
$ -\sum_kA_{qk}B_{kq}-\sum_kA_{pk}B_{kp}+A_{qi}B_{iq}+A_{pi}B_{ip}
$ i\neq jとして、
$ =A_{jk}B_{ki}+A_{ki}B_{jk}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}
$ =\sum_kA_{jk}B_{ki}-A_{ji}B_{ii}-A_{jj}B_{ji}+\sum_kB_{jk}A_{ki}-B_{ji}A_{ii}-B_{jj}A_{ji}-A_{kk}B_{ji}-A_{ji}B_{kk}
$ =\sum_kA_{jk}B_{ki}-A_{ji}\sum_kB_{kk}-\sum_kA_{kk}B_{ji}+\sum_kB_{jk}A_{ki}
$ = [(\bm A\cdot\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B+\bm B\cdot\bm A)^\top]_{ij}
$ [(\bm A\cdot\bm B-({\rm tr}\bm B)\bm A-({\rm tr}\bm A)\bm B+\bm B\cdot\bm A)^\top]_{ii}
$ = A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}-B_{kk}A_{ii}-A_{kk}B_{ii}
$ = A_{ij}B_{ji}+B_{ij}A_{ji}+A_{ik}B_{ki}+B_{ik}A_{ki}-B_{jj}A_{ii}-A_{jj}B_{ii}-B_{kk}A_{ii}-A_{kk}B_{ii}(和をとらない)
やっぱうまく消えてくれないか―