自然基底における発散の成分表示

$ \bm\nabla\cdot\bullet=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\cdot\bullet\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

$ \bullet\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bullet\cdot\bar\bm e_i\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

2,3日前に気づいた

$ \bm\nabla\bullet=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\bullet\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

$ \bullet\overleftarrow{\bm\nabla}=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bullet\bar\bm e_i\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

物理的意味

偏微分の中身は、任意の自然基底だと意味を読み取りにくい

$ \pmb\nabla\cdot\pmb v=\bar{\pmb e}_i\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial \bar e_i}

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_i[\pmb v]^{\sf\bar E}_j

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+[\pmb v]^{\sf\bar E}_j\frac{\partial}{\partial\bar e_j}\ln\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+\frac{[\pmb v]^{\sf\bar E}_j}{\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}\frac{\partial\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}{\partial\bar e_j}

$ =\frac{1}{\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}\left(\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+[\pmb v]^{\sf\bar E}_j\frac{\partial\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}{\partial\bar e_j}\right)

$ \underline{=\frac{1}{\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left([\pmb v]^{\sf \bar E}_i\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}\right)\quad}_\blacksquare

$ \bm\nabla\cdot\bm v=\bar{\bm e}_i\cdot\frac{\partial\bm v}{\partial \bar e_i}

$ =\frac{\partial\bm v\cdot\bar\bm e_i}{\partial\bar e_i}-\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}\cdot\bm v

$ =\frac{\partial[\bm v]^{\sf \bar E}_i}{\partial\bar e_i}+\bm v\cdot\bm\nabla\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

$ \because\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}=-\bm\nabla\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

$ =\frac{\partial [\bm v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\bm v\cdot\bm\nabla\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

$ =\frac{\partial [\bm v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+\frac{[\bm v]^{\sf\bar E}_j}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}{\partial\bar e_i}

$ =\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\frac{\partial [\bm v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_i}+[\bm v]^{\sf\bar E}_j\frac{\partial\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}{\partial\bar e_j}\right)

$ \underline{=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left([\bm v]^{\sf \bar E}_i\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\quad}_\blacksquare

どっちのほうがスッキリするかは微妙だ

n階tensorの場合

$ \bm\nabla\cdot\bm T=\bar{\bm e}_i\cdot\frac{\partial\bm T}{\partial \bar e_i}

$ =\frac{\partial\bar\bm e_i\cdot\bm T}{\partial\bar e_i}-\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}\cdot\bm T

$ =\frac{\partial\bar\bm e_i\cdot\bm T}{\partial\bar e_i}+\left(\bm\nabla\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\cdot\bm T

$ \because\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}=-\bm\nabla\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

$ =\frac{\partial\bar\bm e_i\cdot\bm T}{\partial \bar e_i}+\frac{\bar\bm e_i\cdot\bm T}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}{\partial\bar e_i}

$ =\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\frac{\partial\bar\bm e_i\cdot\bm T}{\partial \bar e_i}+\bar\bm e_i\cdot\bm T\frac{\partial\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}{\partial\bar e_j}\right)

$ \underline{=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\cdot\bm T\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\quad}_\blacksquare

$ \bm\nabla\cdot\bullet=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\cdot\bullet\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

$ \bullet\cdot\overleftarrow{\bm\nabla}=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bullet\cdot\bar\bm e_i\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

ということか