自然基底における勾配の成分表示

$ \bm\nabla\bullet=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\bullet\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

$ \bullet\overleftarrow{\bm\nabla}=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bullet\bar\bm e_i\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

成分表示

scalarの場合

$ [\bm\nabla\phi]^{\sf E}_i=\frac{\partial\phi}{\partial\bar e_i}

単にdot積をとるだけ

vectorの場合

$ \bm\nabla\bm v=\bm\nabla[\bm v]^{\sf E}_j\bar\bm e_j

$ = \bar\bm e_i\frac{\partial[\bm v]^{\sf E}_j}{\partial\bar e_i}\bar\bm e_j-\bar\bm e_i[\bm v]^{\sf E}_j\bm\Gamma_{ij}^{\sf E\bar E}

$ \bm e_i\cdot(\bm\nabla\bm v)\cdot\bm e_j=\frac{\partial\bm v}{\partial\bar e_i}\cdot\bm e_j

$ = \frac{\partial[\bm v]^{\sf E}_j}{\partial\bar e_i}-\bm v\cdot\bm\Gamma_{ij}^{\sf EE}

後者のほうが筋がいい

ほしいのはtensorの成分で、基底の線型結合ではないから