物理成分

意義

しかし、自然基底は必ずしも長さが1ではない

そのため、物理などで自然基底による成分表示では、パラメタごとに次元が変わってしまい、不便

以下、総和規約は使わない

$ \bm e_i=|\bm e_i|\hat\bm e_i=\sqrt{[\bm I]^{\sf EE}_{ii}}\hat\bm e_i=:h_i\hat\bm e_i

$ |\bm e_i|^2=h_i^2

$ h_i=\bm e_i\cdot\hat\bm e_i

$ \llbracket i=j\rrbracket=\bm e_i\cdot\bar\bm e_j

$ \frac1{|\bm e_i|}\llbracket i=j\rrbracket=\hat\bm e_i\cdot\bar\bm e_j

$ \therefore [\bm I]^{\sf\hat E\bar E}_{ij}=\frac1{|\bm e_i|}\llbracket i=j\rrbracket

$ \frac1{|\bar\bm e_i|}\llbracket i=j\rrbracket=\bm e_i\cdot\hat{\bar\bm e}_j

$ \therefore [\bm I]^{\sf E\hat{\bar E}}_{ij}=\frac1{|\bar\bm e_i|}\llbracket i=j\rrbracket

$ [\bm I]^{\sf\hat E\bar E}=[\bm I]^{\sf\bar E\hat E}

$ [\bm I]^{\sf\hat{\bar E}E}=[\bm I]^{\sf E\hat{\bar E}}

$ [\bm I]^{\sf\hat E\bar{\hat E}}=[\bm I]^{\sf\bar{\hat E}\hat E}

$ [\bm I]^{\sf\hat{\bar{\hat E}}\hat E}=[\bm I]^{\sf\hat E\hat{\bar{\hat E}}}

$ [\bm I]^{\sf\hat E\bar{\hat E}}=[\bm I]^{\sf \bar{\hat E}\hat E}

$ \hat{\hat E}=\hat E

$ \bar{\hat\bm e}_i=[\bm I]^{\sf\bar{\hat E}\bar{\hat E}}_{ij}\hat{\bm e}_j

$ [\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ii}=[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}[\bm I]^{\sf EE}_{jk}[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ki}

$ \bm\nabla\cdot\bullet=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\cdot\bullet\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)