自然基底における回転の成分表示

(計算中)

$ \bm\nabla\bullet=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bar\bm e_i\bullet\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

$ \bullet\overleftarrow{\bm\nabla}=\frac{1}{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left(\bullet\bar\bm e_i\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)

$ \partial{\cal\pmb E}^{\sf E}=\partial\sqrt{|\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}|}\epsilon_{ijk}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k

$ =\frac12\sqrt{|\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}|}[\bm I]^{\sf EE}_{lm}\partial[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{lm}\epsilon_{ijk}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k+\sqrt{|\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}|}\epsilon_{ijk}\partial\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k

$ [\bm I]^{\sf EE}_{lm}\partial[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{lm}=\bm e_l\cdot\partial\bar\bm e_l+\bm e_m\cdot\partial\bar\bm e_m=2\bm e_l\cdot\partial\bar\bm e_l=-2\bar\bm e_l\cdot\partial\bm e_l

いや、さすがに0じゃないか

$ \partial_x(\bm a\times^{\sf E}\bm b)=\partial_x\sqrt{|\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}|}\epsilon_{ijk}\bar\bm e_i[\bm a]^{\sf\bar E}_j[\bm b]^{\sf\bar E}_k

$ =