Levi-Civita記号から完全反対称tensorを求める

3次元で考えてみる

記法

どのページにもまだ書いていないことを補足すると

$ {\cal\pmb E}^{\sf\bar E}:=\sum_{ijk}\epsilon_{ijk}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k

座標変換

$ [{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf EEE}_{ijk}=\epsilon_{ijk}

$ [{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}=[\bm I]^{\sf F\bar E}_{il}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{jm}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{kn}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf EEE}_{lmn}

$ =\epsilon_{lmn}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{il}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{jm}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{kn}

$ =\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{i0}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{j1}[\bm I]^{\sf F\bar E}_{k2}

$ =\epsilon_{ijk}\det[\bm I]^{\sf F\bar E}

$ =\det[\bm I]^{\sf F\bar E}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf EEE}_{ijk}

任意の基底でこの変換則が成り立つか調べる

$ [{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}=\det[\bm I]^{\sf G\bar E}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf EEE}_{ijk}

$ =\frac{\det[\bm I]^{\sf G\bar E}}{\det[\bm I]^{\sf F\bar E}}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ =\det[\bm I]^{\sf G\bar E}\det[\bm I]^{\sf E\bar F}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \because\det\left([\bm A]^{-1}\right)=\frac{1}{\det[\bm A]}

$ =\det[\bm I]^{\sf G\bar F}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ [{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}=\det[\bm I]^{\sf G\bar F}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \iff[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf G\bar F}\left|\det[\bm I]^{\sf G\bar F}\right|[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \iff\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar G\bar G}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf G\bar F}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar F\bar F}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

これは相対的な量なので、一つの基底のみでは表せない

つまり、もし同じ手の座標系のみで考えるなら

$ {\cal\pmb E}:=\sum_{ijk}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf EE}\right|}\epsilon_{ijk}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k

座標系に絶対的な符号があるのではなく、ある座標系を+系または-系と定義すれば、他の全ての座標系をどちらかの系に分類できることを示している

基準は適宜その都度設定すればいい

$ [{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}=\det[\bm I]^{\sf G\bar F}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \iff[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf G\bar F}\left|\det[\bm I]^{\sf G\bar F}\right|[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \iff\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar G\bar G}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf G\bar F}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar F\bar F}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \iff\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar G\bar G}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf G\bar S}{\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf S\bar F}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar F\bar F}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

$ \iff{\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf\bar GS}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar G\bar G}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf GGG}_{ijk}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf\bar FS}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar F\bar F}\right|}[{\cal\pmb E}^{\sf\bar E}]^{\sf FFF}_{ijk}

つまり、

$ {\cal\pmb E}^{\sf F}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf F\bar E}{\cal\pmb E}^{\sf E}

$ {\cal\pmb E}^{\sf E}=\sum_{ijk}\epsilon_{ijk}\bm e_i\bm e_j\bm e_k

$ {\cal\pmb E}^{\sf S}\cdot{\cal\pmb E}^{\sf T}={\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf\bar ES}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}\right|}\epsilon_{ijk}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bar\bm e_k\cdot{\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf ET}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf EE}\right|}\epsilon_{lmn}\bm e_l\bm e_m\bm e_n

$ = {\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf S\bar E}[\bm I]^{\sf ET}\cdot1\cdot\epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bm e_m\bm e_n

$ = {\rm sgn}\det[\bm I]^{\sf ST}(\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bm e_i\bm e_j-\bar\bm e_i\bar\bm e_j\bm e_j\bm e_i)

厄介だな……

微分

$ \mathrm d\left({\cal\pmb E}^{\sf\bar S}\right)\cdot{\cal\pmb E}^{\sf S}+{\cal\pmb E}^{\sf\bar S}\cdot\mathrm d\left({\cal\pmb E}^{\sf S}\right)=\bm0

もしかして定数にならない？

座標系の符号の基準基底が曲線基底だと定数にならなそう

参考

行列式が負になることを想定していない

行列式が負になることを想定していない

座標変換行列の行列式の符号に言及している