3階完全反対称tensorの各種演算

交代tensor同士の計算

$ {\Large\pmb{\epsilon}}\vdots{\Large\pmb{\epsilon}}=\sum_{i,j,k}{[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}}^2=3!=6

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:{\Large\pmb{\epsilon}}=\sum_{i,j,k,l}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{jkl}\pmb{e}_i\pmb{e}_l

$ =\sum_{i,j,k}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{jki}\pmb{e}_i\pmb{e}_i

2つの添え字が同じなら、残りの添え字も同じ数字でなければならない

それ以外は定義より0になって消える

$ \xcancel{=\sum_{i}1\cdot\pmb{e}_i\pmb{e}_i}=\pmb{I}

$ =\sum_{i,j,k}2[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{jki}\pmb{e}_i\pmb{e}_i\llbracket j\neq k\rrbracket

2022-08-17 20:36:19 ここをミスしていた

$ =\sum_i2\pmb{e}_i\pmb{e}_i

$ =2\pmb{I}

$ {\Large\pmb{\epsilon}}\cdot{\Large\pmb{\epsilon}}=\sum_{i,j,k,l,m}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{klm}\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_l\pmb{e}_m

$ =\sum_{i,j,k}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{kij}\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_i\pmb{e}_j+[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{kji}\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_j\pmb{e}_i

一つの添え字が同じなら、残り2つの添え字は2つの数字の順列になる

$ \because \{i,j,k\}=\{1,2,3\}\land|\{i,j,k\}|=3

$ =\sum_{i,j}\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_i\pmb{e}_j-\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_j\pmb{e}_i

$ ={\cal\pmb{I}}-\tilde{\cal\pmb{I}}

$ \det\pmb A=\det[\pmb A]^{\sf E\bar E}

$ =\frac16\sum_{i,j,k,l,m,n}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{kn}

これを太字記法だけで表現するのは無理だな

座標変換

$ {\Large\pmb{\epsilon}}=\sum_{i,j,k}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{e}}_j\bar{\pmb{e}}_k=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{e}}_j\bar{\pmb{e}}_k

すべての基底を同じ基底に変換する場合のみシンプルになる

標準基底からの変換

$ [{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}_{ijk}=\sum_{l,m,n}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{lmn}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{li}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{mj}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nk}

$ =\sum_{l,m,n}\epsilon_{lmn}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{li}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{mj}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nk}

$ =\epsilon_{ijk}\det([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F})

$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}

$ \therefore[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}=\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}

任意の基底同士の変換

$ [{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}=\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}\land[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{GGG}=\det([\pmb{I}]^\mathsf{G\bar{E}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}

$ \implies[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{GGG}=\det([\pmb{I}]^\mathsf{G\bar{E}})\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})^{-1}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}

$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{G\bar{E}})\det([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}

$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{G\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}

$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{G\bar{F}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}

$ \therefore[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{GGG}=\det([\pmb{I}]^\mathsf{G\bar{F}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}

双対の変換

$ [{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{\bar{F}\bar{F}\bar{F}}=\det([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}\bar{F}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}

特殊なtensorとの演算

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:\pmb{I}=\sum_{i,j}\epsilon_{ijj}\pmb{e}_i=\pmb{0}

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:{\cal\pmb{I}}=\sum_{i,j,k,l,m}\epsilon_{ijk}(\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_k):(\pmb{e}_l\pmb{e}_m\pmb{e}_l\pmb{e}_m)=\sum_{i,j,k,l,m}\epsilon_{ijk}(\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_k)={\Large\pmb{\epsilon}}

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:\tilde{\cal\pmb{I}}=\sum_{i,j,k,l,m}\epsilon_{ijk}(\pmb{e}_i\pmb{e}_j\pmb{e}_k):(\pmb{e}_l\pmb{e}_m\pmb{e}_m\pmb{e}_l)

$ =\sum_{i,j,k,l,m}\epsilon_{ijk}(\pmb{e}_i\pmb{e}_k\pmb{e}_j)

$ =-\sum_{i,j,k,l,m}\epsilon_{ikj}(\pmb{e}_i\pmb{e}_k\pmb{e}_j)

$ =-{\Large\pmb{\epsilon}}

以上より、

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:{\cal\pmb{S}}={\Large\pmb{\epsilon}}:\frac12({\cal\pmb{I}}+\tilde{\cal\pmb{I}})=0

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:{\cal\pmb{W}}={\Large\pmb{\epsilon}}:\frac12({\cal\pmb{I}}-\tilde{\cal\pmb{I}})={\Large\pmb{\epsilon}}

一般のtensorとの演算

$ {\Large\pmb{\epsilon}}:\pmb{A}={\Large\pmb{\epsilon}}:({\cal\pmb{S}}+{\cal\pmb{W}}):\pmb{A}={\Large\pmb{\epsilon}}:{\cal\pmb{W}}:\pmb{A}

vectorとの演算

$ \pmb{a}\times\pmb{b}=({\Large\pmb{\epsilon}}\cdot\pmb{b})\cdot\pmb{a}={\Large\pmb{\epsilon}}:(\pmb{a}\pmb{b})

$ \pmb{\nabla}\times\pmb{v}={\Large\pmb{\epsilon}}:(\pmb{\nabla}\pmb{v})