恒等tensorの成分表示の行列式

$ \det([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}})=\det\pmb{I}=1

これより

$ \det([\pmb{I}]^\mathsf{EF}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}})=1

$ \implies\det([\pmb{I}]^\mathsf{EF})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}})^{-1}=\det({[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1})^{-1}

$ \det([\pmb{I}]^\mathsf{FF})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{EE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{EE})\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})^2\ge0

$ \because \det({[\pmb{T}]^\mathsf{GH}}^\top)=\det([\pmb{T}]^\mathsf{GH})

$ 1=\det([\pmb{I}]^\mathsf{EF}[\pmb{I}]^\mathsf{FE})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{EF}[\pmb{I}]^\mathsf{EF})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{EF})^2

$ \implies\det([\pmb{I}]^\mathsf{EF})=\pm1

$ {\Large\pmb{\epsilon}}=\sum_{i,j,k}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j\otimes\bar{\pmb{e}}_k=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j\otimes\bar{\pmb{e}}_k

$ [{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{FFF}_{ijk}=\sum_{l,m,n}[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{lmn}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{li}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{mj}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nk}

$ =\sum_{l,m,n}\epsilon_{lmn}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{li}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{mj}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nk}

$ =\epsilon_{ijk}\det([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F})

$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})[{\Large\pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}

Reference