tensorの行列式の不変性の証明
証明
一旦正規直交基底で計算して、不変となる仕組みを探る
正規直交基底の時
$ \det([\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{A}]^\mathsf{EE}[\pmb{I}]^\mathsf{EF})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{FE})\det([\pmb{A}]^\mathsf{EE})\det([\pmb{I}]^\mathsf{EF})
$ =\det(([\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{EF})\det([\pmb{A}]^\mathsf{EE})
$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{FF})\det([\pmb{A}]^\mathsf{EE})
$ =\det([\pmb{A}]^\mathsf{EE})
$ \because[\pmb{I}]^\mathsf{FF} は単位行列
$ \therefore \det([\pmb{A}]^\mathsf{EE})=\det([\pmb{A}]^\mathsf{FF})
なるほど。積の行列式を介すると交換律が成り立つことを使って、座標変換行列を打ち消すわけだ。 同様の方法で、任意の基底に対して計算してみる
任意の基底の時
$ \det([\pmb{A}]^\mathsf{F\bar{F}})=\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}})
$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}})\det([\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}})\det([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}})
$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}})\det([\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}})
$ =\det([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{F}})\det([\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}})
$ =\det([\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}})
$ \because[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{F}} は単位行列
$ \therefore \det([\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}})=\det([\pmb{A}]^\mathsf{F\bar{F}})
dot積と同様、共変成分と反変成分とを組み合わせるのがミソだな 以上より、$ \det\pmb{A}:=\det([\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{E}}) が任意の基底$ \mathsf{E}で成立するとわかった