Vector3重積
$ \bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})のこと
注：このページでは、tensor積の記号$ \otimesを省略し$ \pmb{a}\otimes\pmb{b}=\pmb{a}\pmb{b}と書く
以下の2通りに展開できる
1. $ \bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})=(\bm{b}\wedge\bm{c})\cdot\bm{a}
$ \wedgeはwedge積
$ \pmb{b}\wedge\pmb{c}:=\pmb{b}\pmb{c}-\pmb{c}\pmb{b}
2. $ \bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})=(\pmb{c}\cdot\pmb{a})\pmb{b}-(\pmb{a}\cdot\pmb{b})\pmb{c}
vector解析で紹介される式は、大抵こちらのほう
変数の書き順は文献によってまちまち
導出は1.のtensor積を展開するだけ
1.を知っていれば簡単に求まる
$ (\bm{b}\wedge\bm{c})\cdot\bm{a}=(\pmb{b}\pmb{c})\cdot\pmb{a}-(\pmb{c}\pmb{b})\cdot\pmb{a}=\pmb{b}(\pmb{c}\cdot\pmb{a})-\pmb{c}(\pmb{b}\cdot\pmb{a})\underline{=(\pmb{c}\cdot\pmb{a})\pmb{b}-(\pmb{a}\cdot\pmb{b})\pmb{c}\quad}_\blacksquare
Vector3重積が、後ろ二つのvectorの線型結合で表せるという重要な性質を示している
導出
$ \bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c})=\begin{pmatrix}0&a_2&-a_1\\-a_2&0&a_0\\a_1&-a_0&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&b_2&-b_1\\-b_2&0&b_0\\b_1&-b_0&0\\\end{pmatrix}\bm{c}
面倒なので割愛
むしろ置換記号の性質を使わない分、行列計算の方が無駄に煩雑になる