座標変換行列の行列式の2乗は計量行列の行列式の積に等しい

$ \det[\bm I]^{\sf F\bar E}=\det\left([\bm I]^{\sf FF}[\bm I]^{\sf\bar FE}[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}\right)

$ =\det[\bm I]^{\sf FF}\det[\bm I]^{\sf\bar FE}\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}

$ =\det[\bm I]^{\sf FF}\frac{1}{\det[\bm I]^{\sf\bar EF}}\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}

$ =\det[\bm I]^{\sf FF}\frac{1}{\det[\bm I]^{\sf F\bar E}}\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}

$ \because\det[\bm A]^\top=\det[\bm A]

$ \implies\left(\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\right)^2=\det[\bm I]^{\sf FF}\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}

$ \iff\left|\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\right|=\sqrt{\det[\bm I]^{\sf FF}\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}}

実数値行列の行列式は常に実数だから、素直に平方根をとっていい

複素行列の場合はそのうち考える

$ \iff\left|\det[\bm I]^{\sf F\bar E}\right|=\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf FF}\right|}\sqrt{\left|\det[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}\right|}