Christoffel記号を計量行列の行列式の微分で表

Christoffel vector(Christoffel記号)を縮約すると、計量行列の行列式の微分で書き換えることができる

太字表記

$ \sum_i\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}=-\bm\nabla\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}} ー①

成分表記

$ {\Gamma_{ij}}^i=\bm\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\bm e}_i=\frac{\partial}{\partial\bar e_j}\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}} ー②

$ {{\Gamma_i}^i}_j=\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}\cdot\bm e_j=-\frac{\partial}{\partial\bar e_j}\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}} ー③

$ \bm\nabla\cdot\bm e_j=\frac{\partial}{\partial\bar e_j}\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}} ー④

(すべて$ iについて和をとる)

導出

from 自然基底における発散の成分表示

②：$ {\Gamma_{ij}}^i=\bm\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\bm e}_i=\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\left(\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ki}}{\partial \bar e_j}-\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ij}}{\partial \bar e_k}\right)

$ \becauseChristoffel vectorを計量行列で表す

$ = \frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ki}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{jk}}{\partial \bar e_i}-\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ji}}{\partial \bar e_k}+\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ik}}{\partial \bar e_j}

項の順序入れ替え&恒等tensorの対称性を使った添え字入れ替え

$ =\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ji}}{\partial \bar e_k}-\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ji}}{\partial \bar e_k}+\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ik}}{\partial \bar e_j}

$ i,kは束縛変数なので、ほかの添え字に変えられる

$ =\frac12[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ik}\frac{\partial[\bm I]^{\sf EE}_{ik}}{\partial \bar e_j}

$ =\frac12\frac{\partial\ln\det[\bm I]^{\sf EE}}{\partial\bar e_j}

計量行列の行列式の微分を用いた

$ \mathrm d\det[\bm I]^{\sf EE}=\det[\bm I]^{\sf EE}[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\mathrm d[\bm I]^{\sf EE}_{ij}

$ \because行列式の微分

$ \iff[\bm I]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\mathrm d[\bm I]^{\sf EE}_{ij}=\frac1{\det[\bm I]^{\sf EE}}\mathrm d\det[\bm I]^{\sf EE}=\mathrm d\ln\det[\bm I]^{\sf EE}

$ =\frac{\partial}{\partial\bar e_j}\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

③：$ {{\Gamma_i}^i}_j=\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}\cdot\bm e_j=-\frac{\partial}{\partial\bar e_j}\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

$ \bm e_j\cdot\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}+\bar{\bm e}_i\cdot\bm\Gamma^{\sf EE}_{ij}=0であることを使うと

$ \bm I=\bm e_j\bar\bm e_jだから

$ \bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}=-\bm\nabla\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}

こちらのほうが使いやすい？

#2024-02-10 15:14:09

#2024-01-15 08:36:54

#2023-09-07 07:24:45