流体の運動方程式（レベル1）：ナビエ・ストークスの方程式のイントロダクション
https://www.youtube.com/watch?v=a87Yuc26q3E
内容
ε-δ論法で聞いたような話で草takker.icon ↓を見る限りこう言ってしまっても問題なさそう
$ \rho(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{u}+\rho\frac{\partial \pmb{u}}{\partial t}=\pmb{f}-\pmb{\nabla}P+\rho\nu\pmb{\nabla}^2\pmb{u}
$ \rho\frac{\mathrm{D} \pmb{u}}{\mathrm{D} t}=\pmb{f}-\pmb{\nabla}P+\rho\nu\pmb{\nabla}^2\pmb{u}
$ \rho\frac{\mathrm{D} \pmb{u}}{\mathrm{D} t}=\pmb{f}-\pmb{\nabla}P+\rho\nu\pmb{\nabla}^2\pmb{u}+(\lambda+\rho\nu)\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u})
非圧縮性流れなら$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}=0で最後の項が消える
流速と圧力を求めることが目的
定常流れだとしても、物質点は管路中の断面の広い箇所から狭い箇所に流れると加速される
数式だと現位置を求める函数$ \pmb{\phi}を使えば一発で求まる この呼称は便利そうだ。使わせていただこうtakker.icon
流体粒子を追跡すれば解けそう
やってみた
https://kakeru.app/f20c2ae2b73b121bcfb5ef3efb189dd9 https://i.kakeru.app/f20c2ae2b73b121bcfb5ef3efb189dd9.svg
$ \pmb{x}にいる物質点$ \pmb{X}が$ \mathrm{d}t後に$ \pmb{x}+\mathrm{d}\pmb{x}に移動した場合を考える
仮に定常流れであったとしても、$ \mathrm{d}S\neq0であれば、連続の式より流速が位置によって変動する($ |\pmb{u}(\pmb{x})|\neq|\pmb{u}(\pmb{x}+\mathrm{d}\pmb{x})|)
よって定常流れ($ \frac{\partial \pmb{u}}{\partial t}=0)の場合、物質点$ \pmb{X}は$ \mathrm{d}t後に$ (\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\mathrm{d}\pmb{x}だけ加速される
体積力$ \pmb{f}
重力や電磁気力など
よくわからない外力もとりあえずここに含めてもいいかも
面積力
圧力(垂直応力)項$ -\pmb{\nabla}Pと粘性(剪断応力)項$ \rho\nu\pmb{\nabla}^2\pmb{u}に分離して表記している $ \pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
積分形：$ \int_{\partial V}\rho\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{d}V=0
粘性
定常流れ、$ \pmb{u}=u_x\pmb{e}_x、$ \pmb{f}=0とすると
$ \rho\frac{\partial u_x}{\partial x}u_x=-\frac{\partial P}{\partial x}+\rho\nu\pmb{\nabla}^2u_x