弾性波動論の基礎
1. 固体力学の基本構造
2. 運動方程式
3. ひずみ～変位関係（ひずみの定義式）
4. 応力～ひずみ関係
5. Navier の式
ここから読めばいい
$ \rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=G\bm\nabla^2\bm u+(G+\lambda_1)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b
微小変位理論で考えて、基準配置と現配置とを同一視する
$ \rho\frac{\partial^2\bm u}{{\partial t}^2}=G\bm\nabla^2\bm u+(G+\lambda_1)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)+\rho\bm b
物体力は今回考えない
$ \rho\frac{\partial^2\bm u}{{\partial t}^2}=G\bm\nabla^2\bm u+(G+\lambda_1)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm u)
$ x方向のみを取り出す
$ \rho\frac{\partial^2u_x}{{\partial t}^2}=G\bm\nabla^2u_x+(G+\lambda_1)\partial_x^2u_x
垂直ひずみに限定する
$ \rho\frac{\partial^2u_x}{{\partial t}^2}=(2G+\lambda_1)\partial_x^2u_x
$ -\omega^2\rho\mathcal F(u_x)(\omega)=(2G+\lambda_1)\mathcal F(\partial_x^2u_x)(\omega)
$ \alpha:=\sqrt\frac{2G+\lambda_1}{\rho},k_\alpha(\omega):=\frac{\omega}{\alpha}で置き換え
$ -\alpha^2{k_\alpha}^2\rho\mathcal F(u_x)(\omega)=\rho\alpha^2\mathcal F(\partial_x^2u_x)(\omega)
$ \iff-{k_\alpha}^2\mathcal F(u_x)(\omega)=\mathcal F(\partial_x^2u_x)(\omega)
$ \iff{k_\alpha}^2\mathcal F(u_x)(\omega)+\mathcal F(\partial_x^2u_x)(\omega)=0
$ \iff{k_\alpha}^2\mathcal F(u_x)(\omega)+\partial_x^2\mathcal F(u_x)(\omega)=0
この交換操作はおそらくやっていいはずtakker.icon
解く
$ \mathcal F(u_x)(\omega)=Ce^{-ik_\alpha(\omega)x}\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
$ \iff u_x=C\mathcal F^{-1}(e^{-ik_\alpha(\omega)x})(t)\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
$ = C\frac1{2\pi}\int_\R e^{-ik_\alpha(\omega)x}e^{i\omega t}\mathrm d\omega\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
$ = \frac C{2\pi}\int_\R e^{i(\omega t-k_\alpha(\omega)x)}\mathrm d\omega\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
式(41)をフーリエ逆変換するときは𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖を乗じて𝜔𝜔で積分する．そのとき，
𝑒𝑒𝑖𝑖(−𝛼𝛼𝑥𝑥1)
のような関数が現れるが，ある時刻とある地点を基準に考えると，その時刻からΔ𝑡𝑡だけ経過した時刻におけるΔ𝑥𝑥1 = +𝛼𝛼Δ𝑡𝑡だけ移動した地点での関数の値は，元の値から変化しない．
従って基準時刻における基準地点での変位の値が伝播していくとみなすことができる．
$ y方向変位を調べる
$ \rho\frac{\partial^2u_y}{{\partial t}^2}=G\bm\nabla^2u_y
伝播方向は$ x
$ \rho\frac{\partial^2u_y}{{\partial t}^2}=G\partial_x^2u_y
ここで$ y,zを0にする理由をわかってないtakker.icon
$ \beta:=\sqrt\frac{G}{\rho},k_\beta:=\frac{\omega}{\beta}として、P波導出と同じように解く
$ u_y=C\mathcal F^{-1}(e^{-ik_\beta(\omega)x})(t)\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
$ = C\frac1{2\pi}\int_\R e^{-ik_\beta(\omega)x}e^{i\omega t}\mathrm d\omega\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
$ = \frac C{2\pi}\int_\R e^{i(\omega t-k_\beta(\omega)x)}\mathrm d\omega\quad\text{.for }\exist C\in\Complex
単に波速が$ \betaに変わっただけ
$ \beta=\sqrt\frac{G}{\rho}<\sqrt\frac{2G+\lambda_1}{\rho}=\alpha
$ l=\alpha t=\beta(t+\tau)
$ \iff l=\alpha t\land(\alpha-\beta)t=\beta\tau
$ \implies l=\frac{\alpha\beta}{\alpha-\beta}\tau
$ = \frac{\sqrt{2G+\lambda_1}}{\sqrt{2G+\lambda_1}-\sqrt G}\alpha\tau
$ \tau=10\ \mathrm{s}なら$ l\simeq100\ \mathrm{km}
8. 媒質境界での弾性波の透過・反射
9. 媒質境界での弾性波の屈折
10. 弾性体におけるエネルギーの収支
$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B_t}\frac12\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv
$ \bm v=\dot{\bm u}
$ \bm\sigma=\lambda_1(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)\bm I+2G\bm\varepsilonを代入
$ \bm\sigma:\bm d=\lambda_1(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)(\mathrm{tr}\dot{\bm\varepsilon})+2G\bm\varepsilon:\dot{\bm\varepsilon}
$ =\lambda_1\frac{\partial}{\partial t}\frac12(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)^2+G\frac{\partial}{\partial t}(\bm\varepsilon:\bm\varepsilon)
$ =\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac12\lambda_1(\mathrm{tr}\bm\varepsilon)^2+G\bm\varepsilon:\bm\varepsilon\right)
$ =\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac12\bm\sigma:\bm\varepsilon\right)
これは弾性tensor$ \pmb{\cal C}が対称であれば成り立つ
領域は時間変化しないとして、$ B_t=Bとする
これで$ \intと$ \frac{\partial}{\partial t}と交換できる
こうなる
$ \frac{\partial}{\partial t}\left(\int_B\frac12\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_B\frac12\bm\sigma:\bm\varepsilon\mathrm dv-\int_B\bm b\cdot\bm u\mathrm dv\right)=\int_{\partial B}\dot{\bm u}\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a
11. 弾性波の運ぶエネルギー
付録 A 弾性定数間の換算式