応力の対称性

証明

$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\pmb x\times\rho\pmb v\mathrm dv=\int_{\partial B(t)}\pmb x\times(\pmb\sigma\cdot\mathrm d\pmb s)+\int_{B(t)}\pmb x\times\rho\pmb g\mathrm dv\quad\text{.for }\forall B

$ \iff \int_{B(t)}\rho\frac{\mathrm D(\pmb x\times\pmb v)}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B(t)}\pmb x\times(\pmb\sigma\cdot\mathrm d\pmb s)+\int_{B(t)}\pmb x\times\rho\pmb g\mathrm dv

$ ={\Large\pmb\epsilon}:\int_{\partial B(t)}\pmb x\pmb\sigma\cdot\mathrm d\pmb s+\int_{B(t)}\pmb x\times\rho\pmb g\mathrm dv

$ ={\Large\pmb\epsilon}:\int_{B(t)}(\pmb x\pmb\sigma)\cdot\overleftarrow{\pmb\nabla}\mathrm dv+\int_{B(t)}\pmb x\times\rho\pmb g\mathrm dv

$ ={\Large\pmb\epsilon}:\int_{B(t)}\left(\pmb I\cdot\pmb\sigma^\top+\pmb x\pmb\sigma\cdot\overleftarrow{\pmb\nabla}\right)\mathrm dv+\int_{B(t)}\pmb x\times\rho\pmb g\mathrm dv

$ =\int_{B(t)}\left({\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma^\top+\pmb x\times(\nabla\cdot\pmb\sigma^\top+\rho\pmb g)\right)\mathrm dv

$ =\int_{B(t)}\left({\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma^\top+\pmb x\times\rho\frac{\mathrm D\pmb v}{\mathrm Dt}\right)\mathrm dv\quad\text{.for }\forall B

$ \iff\rho\frac{\mathrm D(\pmb x\times\pmb v)}{\mathrm Dt}={\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma^\top+\pmb x\times\rho\frac{\mathrm D\pmb v}{\mathrm Dt}

$ \iff\rho\pmb x\times\frac{\mathrm D\pmb v}{\mathrm Dt}={\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma^\top+\pmb x\times\rho\frac{\mathrm D\pmb v}{\mathrm Dt}

$ \iff {\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma^\top=\pmb 0

$ \iff {\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma=-\pmb0=\pmb0

$ \iff {\Large\pmb\epsilon}\cdot{\Large\pmb\epsilon}:\pmb\sigma=\pmb0

$ \iff{\cal\pmb W}:\pmb\sigma=\pmb 0

$ \iff\pmb\sigma=\pmb\sigma^\top