2階線型斉次微分方程式
$ m\ddot x+c\dot x+kx=0
$ m：質量
このとき臨界減衰比$ h:=\frac{c}{2\sqrt{mk}}、固有角振動数$ \omega:=\sqrt{\frac mk}と置き直すことで、$ \ddot x+2h\omega\dot x+\omega^2 x=0の形にできる 解法
複素固有角振動数$ \hat{\omega}:=\omega\sqrt{1-h^2}+i\omega hを導入すると式展開が楽になる $ u+2h\omega u+\omega^2=(u-i\hat{\omega})(u+i\hat{\omega}^*)\quad\text{.for }\forall uー①
$ \because u+2h\omega u+\omega^2=u+2\Im\hat{\omega}u+|\hat{\omega}|^2
$ =u-i(\hat{\omega}-\hat{\omega}^*)u+\hat{\omega}\hat{\omega}^*
$ =(u-i\hat{\omega})(u+i\hat{\omega}^*)
$ (i\hat{\omega})^*=-i\hat{\omega}^*
①より
$ f''+2h\omega f'+\omega^2f=0
$ \iff(D-i\hat{\omega})(D+i\hat{\omega}^*)f=0
$ \iff (D-i\hat{\omega})g=0
$ g(t):=f'(t)+i\hat{\omega}^*f(t)とした
$ \iff (D+i\hat{\omega}^*)f=2i\Re\hat{\omega}Ae^{i\hat{\omega}t}\quad\text{.for }\exist A\in\Complex
後の式展開の都合で定数$ 2i\Re\hat{\omega}をかけている
$ \underline{\iff f(t)=Ae^{i\hat{\omega}t}+Be^{-i\hat{\omega}^*t}\quad\text{.for }\exist A,B\in\Complex\quad}_\blacksquare
特殊解
$ f(0),f'(0)を使うと、
$ \begin{dcases}f(0)&=A+B\\f'(0)&=iA\hat{\omega}-iB\hat{\omega}^*\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}A&=\frac{\hat{\omega}^*f(0)-if'(0)}{2\Re\hat{\omega}}\\B&=\frac{\hat{\omega}f(0)+if'(0)}{2\Re\hat{\omega}}\end{dcases}
$ \underline{\therefore f(t)=\frac{\hat{\omega}^*f(0)-if'(0)}{2\Re\hat{\omega}}e^{i\hat{\omega}t}+\frac{\hat{\omega}f(0)+if'(0)}{2\Re\hat{\omega}}e^{-i\hat{\omega}^*t}\quad}_\blacksquare
$ \Im f=\Im f'=0なら
$ f(t)=\Re\left(\frac{\hat{\omega}f(0)+if'(0)}{\Re\hat{\omega}}e^{-i\hat{\omega}^*t}\right)
$ =f(0)\Re e^{i\hat{\omega}t}+\frac{h\omega f(0)+f'(0)}{\Re\hat{\omega}}\Im e^{i\hat{\omega}t}