1階線型微分方程式
$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+f(x)y=g(x)で表される1階常微分方程式 $ \mathrm{d}yと$ yの線型結合と、$ yに関する定数項$ h(x)で構成されている
分類
$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(x)
$ f(x)=0のケース
単純に積分すれば求まる
$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+g(x)y=0
変数分離形$ f(y)\mathrm{d}y+g(x)\mathrm{d}x=0に$ f(y)=\frac1{y}のものを代入したものでもある $ \mathrm{d}y+ay\mathrm{d}x=b\mathrm{d}x型の解
1階線型微分方程式に$ f(x)=a={\rm const.},g(x)=b={\rm const.}を入れて、係数を定数にしたもの $ a\mathrm{d}v=(b-cv)\mathrm{d}t\quad (a\neq0\land c\neq0)
$ =c(\frac{b}{c}-v)\mathrm{d}t
$ \iff-\frac1{\frac{b}{c}-v}\mathrm{d}\left(\frac{b}{c}-v\right)=\frac{c}{a}\mathrm{d}t
この時点で$ b\neq cv
$ b=cvのときは$ v=\text{Const.}
$ \iff-\mathrm{d}\ln\left|\frac{b}{c}-v\right|=\frac{c}{a}\mathrm{d}t
$ \iff-\ln\left|\frac{b}{c}-v\right|=\frac{c}{a}t+C\quad.\text{for}\exists C\in\R
$ \iff\left|\frac{b}{c}-v\right|=Ce^{-\frac{c}{a}t}\quad.\text{for}\exists C\in\R_+
$ \iff \frac bc-v=Ce^{-\frac{c}{a}t}(-1)^{\llbracket b< cv\rrbracket}\quad.\text{for}\exists C\in\R_+
$ Ce^{-\frac{c}{a}t}>0\quad.\text{for}\forall tより、以下がわかる
初期条件が$ b>cvならどの状態でも$ b>cv
初期条件が$ b<cvならどの状態でも$ b<cv
常に$ b\neq cv
ある時間に$ b>cvで別の時間に$ b<cvになることはない
$ \iff v=\frac{b}{c}-Ce^{-\frac{c}{a}t}(-1)^{\llbracket b< cv\rrbracket}\quad.\text{for}\exists C\in\R_+
わかること
$ v\to\frac{b}{c}\quad(t\to\infin)
$ v\to-\infin\quad(t\to-\infin)
$ v(0)=\frac{b}{c}-C(-1)^{\llbracket b< cv\rrbracket}\quad.\text{for}\exists C\in\R_+
初速$ v(0)で積分定数を消去すると
$ C=\left(\frac bc-v(0)\right)(-1)^{\llbracket b< cv\rrbracket}
$ \therefore v=\frac bc-\left(\frac bc-v(0)\right)e^{-\frac{c}{a}t}
$ =\frac bc\left(1-e^{-\frac cat}\right)+v(0)e^{-\frac cat}
この形から得られる解釈
最初は$ v(0)の項が効く
時間が経過するにつれて$ v(0)項が小さくなり、それとともに$ \frac bc項が大きくなる
最終的に$ \frac bc項が優勢になる
グラフの形
$ v(0)から$ \frac bcに一致もしくは漸近する
$ v(0)と$ \frac bcとの大小関係で、グラフの傾きが決まる
初加速度
$ v'=\frac bae^{-\frac cat}-\frac cav(0)e^{-\frac cat}
$ =\frac1a(b-cv(0))e^{-\frac cat}
$ = v'(0)e^{-\frac cat}
$ g/f=\rm const.のときの解法からの類推
$ y_0'+fy_0=0のとき、
$ y'+fy=g
$ \iff (y-g/f)'+f(y-g/f)=0
$ \therefore (g/f))'=0
$ \iff y=g+y_0
$ (g/f)''=0のとき
$ y'+fy=g
$ \iff(y-g/f+(g/f)'/f)'+f(y-g/f+(g/f)'/f)
あー、だめだ。$ f'=0のとき以外うまくいかない
$ ((g/f)/f)'=(g/f)'/f-f'(g/f)/f^2
$ f=\rm const.のときなら
$ y'+fy=g
$ \iff(y-g/f+(g/f)'/f)'+f(y-g/f+(g/f)'/f)=0
$ \iff y=g/f-(g/f)'/f+y_0
ここから類推して、$ g^{(n)}=0のとき
$ y=\sum_{0\le i<n}(-1)^i(g/f)^{(i)}/f^i+y_0