1階常微分方程式
$ F(f'(x),f(x),x)=0で表される微分方程式 分類
以下、$ x\mapsto yを解くものとする
$ \mathrm{d}y+g(x)\mathrm{d}x=0
ただの積分である
すべて、この形に帰着させることが目標になる
$ f(y)\mathrm{d}y+g(x)\mathrm{d}x=0
$ \mathrm{d}F=f(y)\mathrm{d}yを満たす$ Fを見つけられれば、$ \mathrm{d}F(y)+g(x)\mathrm{d}x=0と直接積分形に持ち込める 変数分離系に帰着できるもの
$ \mathrm{d}y=f(ax+by+c)\mathrm{d}x
$ \mathrm{d}(ax+by+c)=a\mathrm{d}x+b\mathrm{d}yより、
$ \iff\mathrm{d}(ax+by+c)=(a+bf(ax+by+c))\mathrm{d}x
$ \iff g(ax+by+c)\mathrm{d}(ax+by+c)=\mathrm{d}x
ただし、$ g:u\mapsto\frac{1}{a+bf(u)}
と、変数分離形になる
これ、より一般化できないかな？takker.icon
例：$ \mathrm{d}y=(x+y+1)^2\mathrm{d}x
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$ \mathrm{d}y=f\left(\frac{y}{x}\right)\mathrm{d}xで表される1階(非)線型定微分方程式のこと
式に出てくる$ x,yの次数が同じになるのが、名前の由来だそうだ
$ \mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)=-yx^{-2}\mathrm{d}x+x^{-1}\mathrm{d}y \iff \mathrm{d}y=x\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x}\mathrm{d}xより、変数分離形に帰着できる