粘性抵抗つき物体の自由落下

$ m\mathrm{d}v=(mg-kv)\mathrm{d}t

$ v=\frac{mg}{k}-Ce^{-\frac{k}{m}t}(-1)^{\llbracket mg< kv\rrbracket}\quad.\text{for}\exists C\in\R_+

わかりやすくなった

$ mg<kv

重力より空気抵抗が大きいので、どんどん減速していく

$ mg=kv

そのまま一定速度で落ち続ける

$ mg > kv

静かに落下させたり、弱めの速度で落としたりしたとき

重力の効果で加速していくが、空気抵抗でだんだん加速が鈍ってくる

$ mv\mathrm{d}v=v(mg-kv)\mathrm{d}t

$ \iff \mathrm{d}\left(\frac12mv^2\right)=\mathrm{d}(mgz)-kv^2\mathrm{d}t

鉛直下向きを正にとっている

鉛直上向きを正に直すとこんな感じ：

$ \mathrm{d}\left(\frac12mv^2+mgx\right)=-kv^2\mathrm{d}t<0