積分因子
FNの高校物理がかなり詳しい
５．完全微分方程式と積分因子 | 絶対温度とは何か（積分因子とは何か）
１．完全微分方程式とは | 絶対温度とは何か（積分因子とは何か）
$ (\exist\varphi;\bm v=\bm\nabla\varphi)\iff\bm\nabla\times\bm v=\bm 0
渦なし流のときpotential流れが存在する
非回転vector場はscalar potentialで表せる
(L)$ \implies(R)は∇⨯∇φ=0から自明
(L)$ \impliedby(R)を2次元に限定して証明する
正規直交基底で成分表示する
$ \partial_xv_y-\partial_yv_x=0
$ \iff\exist V_x;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\\partial_xv_y-\partial_y\partial_xV_x(x,y)=0\end{dcases}
$ \iff\exist V_x;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\\partial_x(v_y-\partial_yV_x(x,y))=0\end{dcases}
$ \iff\exist V_x,g;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\v_y-\partial_yV_x(x,y)=g(y)\end{dcases}
$ \iff\exist V_x,G;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\v_y=\partial_y(V_x(x,y)+G(y))\end{dcases}
$ g=G'(y)として変数変換した
$ \iff\exist V_x,G;\begin{dcases}v_x=\partial_x(V_x(x,y)+G(y))\\v_y=\partial_y(V_x(x,y)+G(y))\end{dcases}
$ \because \partial_xG=0
$ \iff\exist V_x,G;\bm v=\bm\nabla(V_x(x,y)+G(y))
$ \underline{\implies\exist\varphi;\bm v=\bm\nabla\varphi\quad}_\blacksquare
$ \bm vが渦なし流のとき、$ \bm v\cdot\mathrm d\bm r=0は完全微分方程式となる
（３）積分因子 | 絶対温度とは何か（積分因子とは何か）
非回転vector場でない($ \bm\nabla\times\bm v\neq\bm0)vectorにはscalar potentialが存在しない
しかし、$ \bm\nabla\times(\lambda\bm v)=\bm0となる$ \lambdaが見つかることがある
$ \lambdaを積分因子と呼ぶ
2変数微分方程式には必ず積分因子が存在することが証明されている
3変数ではその限りではない
以下に説明があるとのこと
『偏微分方程式とその応用 (応用数学講座〈第9巻〉)』 第３章全微分方程式
$ \exist\lambda:\bm\nabla\times(\lambda\bm v)=\bm 0\iff \bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v=0だが$ \bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v=0が3次元で一般に成立しないため存在するとは限らない、と説明されている
スミルノフ著　「スミルノフ高等数学教程　第3巻（原本Ⅱ巻第一分冊）」共立出版（1969年刊）第3章第7節
証明
『偏微分方程式とその応用 (応用数学講座〈第9巻〉)』 p.32-33
$ \bm v\cdot(\bm\nabla\times(\lambda\bm v))=\bm v\cdot(\bm\nabla\lambda\times\bm v+\lambda\bm\nabla\times\bm v) = 0+\lambda\bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v
$ \implies \bm v\cdot(\bm\nabla\times(\lambda\bm v))=\lambda\bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v
$ \therefore\bm\nabla\times(\lambda\bm v)=\bm 0\implies \bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v=0
このあと文献では$ \bm\nabla\times(\lambda\bm v)=\bm 0\impliedby \bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v=0が導かれたと思い込んでいるが、証明がなく説明が不十分
2次元の場合
$ \bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda\bm v)=0
$ \iff \bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda)\bm v+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v=0
$ \because\bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda\bm v)=\bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda)\bm v+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v
$ \lambdaの1階線型偏微分方程式となる
これが解けるなら2変数微分方程式には必ず積分因子が存在することを示せる
1階線形偏微分方程式
1階線形偏微分方程式の特性曲線法
特性曲線法
１．積分因子は偏微分方程式の解 | 絶対温度とは何か（積分因子とは何か）
$ \partial_y\lambda=0のときは簡単に求まる
$ \bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda)\bm v+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v=0
$ \implies\lambda'v_y+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v=0
1階常微分方程式に持ち込めたので、あとは変数分離して解けばいい
$ \iff (\mathrm d\ln\lambda)v_y+\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v\mathrm dx=0
$ \underline{\iff\ln\lambda+\int\frac{\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v}{v_y}\mathrm dx=\rm const.\quad}_\blacksquare
3次元の場合は
$ (\bm\nabla\lambda)\times\bm v+\lambda(\bm\nabla\times\bm v)=\bm 0
に一般解があることを示せればいいが、おそらく存在しないのだろう
$ \bm\nabla\times(\lambda\bm v)=\bm0\iff(\exist\varphi;\lambda\bm v=\bm\nabla\varphi)より、
$ \bm v\cdot\mathrm d\bm r=0
$ \implies \frac1\lambda\bm\nabla\varphi\cdot\mathrm d\bm r=0
$ \lambda=0のときはどうするんだろうtakker.icon
$ \iff \mathrm d\varphi=0
$ \iff\varphi=\rm const.
が一般解になる
$ \bm v\cdot\mathrm d\bm r=0も$ \lambda\bm v\cdot\mathrm d\bm r=0も同じ解になる
積分因子 - EMANの物理数学
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