積分因子

$ (\exist\varphi;\bm v=\bm\nabla\varphi)\iff\bm\nabla\times\bm v=\bm 0

正規直交基底で成分表示する

$ \partial_xv_y-\partial_yv_x=0

$ \iff\exist V_x;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\\partial_xv_y-\partial_y\partial_xV_x(x,y)=0\end{dcases}

$ \iff\exist V_x;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\\partial_x(v_y-\partial_yV_x(x,y))=0\end{dcases}

$ \iff\exist V_x,g;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\v_y-\partial_yV_x(x,y)=g(y)\end{dcases}

$ \iff\exist V_x,G;\begin{dcases}v_x=\partial_xV_x(x,y)\\v_y=\partial_y(V_x(x,y)+G(y))\end{dcases}

$ \iff\exist V_x,G;\begin{dcases}v_x=\partial_x(V_x(x,y)+G(y))\\v_y=\partial_y(V_x(x,y)+G(y))\end{dcases}

$ \because \partial_xG=0

$ \iff\exist V_x,G;\bm v=\bm\nabla(V_x(x,y)+G(y))

$ \underline{\implies\exist\varphi;\bm v=\bm\nabla\varphi\quad}_\blacksquare

3変数ではその限りではない

以下に説明があるとのこと

証明

$ \bm v\cdot(\bm\nabla\times(\lambda\bm v))=\bm v\cdot(\bm\nabla\lambda\times\bm v+\lambda\bm\nabla\times\bm v) = 0+\lambda\bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v

$ \implies \bm v\cdot(\bm\nabla\times(\lambda\bm v))=\lambda\bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v

$ \therefore\bm\nabla\times(\lambda\bm v)=\bm 0\implies \bm v\cdot\bm\nabla\times\bm v=0

2次元の場合

$ \bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda\bm v)=0

$ \iff \bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda)\bm v+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v=0

$ \because\bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda\bm v)=\bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda)\bm v+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v

$ \bm\epsilon:(\bm\nabla\lambda)\bm v+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v=0

$ \implies\lambda'v_y+\lambda\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v=0

$ \iff (\mathrm d\ln\lambda)v_y+\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v\mathrm dx=0

$ \underline{\iff\ln\lambda+\int\frac{\bm\epsilon:\bm\nabla\bm v}{v_y}\mathrm dx=\rm const.\quad}_\blacksquare

3次元の場合は

$ (\bm\nabla\lambda)\times\bm v+\lambda(\bm\nabla\times\bm v)=\bm 0

に一般解があることを示せればいいが、おそらく存在しないのだろう

$ \bm v\cdot\mathrm d\bm r=0

$ \implies \frac1\lambda\bm\nabla\varphi\cdot\mathrm d\bm r=0

$ \iff \mathrm d\varphi=0

$ \iff\varphi=\rm const.

が一般解になる