位相空間による連続写像の定義
任意の位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)にて、$ f:X\to Yが以下を満たすとき、$ fは連続であるといい、このとき$ fを連続写像と呼ぶ $ \mathcal O_Y\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal O_X)
連続写像であっても、開集合の像が開集合になるとは限らないため、像ではなく逆像で定義している
わかりやすいグラフも載っている
同値な定義
a. $ \forall x\in X:\mathcal N_Y(f(x))\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal N_X(x))
$ \mathcal N_\bullet：$ (\bullet,\mathcal O_\bullet)から誘導される全近傍系 b. $ \mathcal C_Y\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal C_X)
$ \mathcal C_\bullet：$ (\bullet,\mathcal O_\bullet)から誘導される閉集合系 c.$ \forall A\in2^X:f^\to(\overline{A}^X)\subseteq\overline{f^\to(A)}^Y
$ \overline{A}^\bullet：$ (\bullet,\mathcal O_\bullet)から誘導される$ Aの閉包