連続写像の定義の同値性

証明

1→4

テキストの証明は、次のように対偶を使っていた

$ \forall A\in 2^{X_1}\forall x\in A:

$ f(x)\notin\overline{f^\to(A)}

$ \implies f(x)\in X_2\setminus\overline{f^\to(A)}\in\mathcal O_2

$ \implies X_2\setminus\overline{f^\to(A)}\in\mathcal N_2(f(x))

$ \implies \mathcal N_1(x)\ni f^\gets(X_2\setminus \overline{f^\to(A)})

$ = f^\gets(X_2)\setminus f^\gets(\overline{f^\to(A)})

$ = X_1\setminus f^\gets(\overline{f^\to(A)})

$ \subseteq X_1\setminus f^\gets(f^\to(A))

$ =X_1\setminus A

$ \implies X_1\setminus A\in\mathcal N_1(x)

$ \iff x\in(X_1\setminus A)^\circ

$ \iff x\in X_1\setminus\overline{A}

$ \implies x\notin\overline{A}

$ \implies\forall A\in2^{X_1}\forall x\in A:(f(x)\notin\overline{f^\to(A)}\implies x\notin\overline{A})

$ \iff\forall A\in 2^{X_1}\forall x\in\overline{A}:f(x)\in\overline{f^\to(A)}

$ \underline{\iff\forall A\in2^{X_1}:f^\to(\overline{A})\subseteq\overline{f^\to(A)}\quad}_\blacksquare

対偶を使わないとこうなる

$ \forall A\in2^{X_1}\forall x:

$ x\in\overline{A}^1

$ \iff x\in X_1\land\forall N\in\mathcal N_1(x):N\cap A\neq\varnothing

$ \implies\forall N\in\mathcal N_2(f(x)):f^\gets(N)\cap A\neq\varnothing

$ \because\forall x\in X_1\forall N\in\mathcal N_2(f(x)):f^\gets(N)\in\mathcal N_1(x)

$ \iff\forall N\in2^X:(f(x)\in N^{\circ_2}\implies\exist a\in A:a\in f^\gets(N))

$ \iff\forall N\in2^X:(f(x)\in N^{\circ_2}\implies\exist a\in A:f(a)\in N)

$ f(x)\in\overline{f^\to(A)}

一旦保留

4.→3.

$ \text{4.}

$ \implies \forall C_2\in\mathcal C_2:f^\to(\overline{f^\gets(C_2)})\subseteq\overline{f^\to(f^\gets(C_2))}

$ \subseteq\overline{C_2}

$ =C_2

$ \because C_2\in\mathcal C_2

$ \implies\forall C_2\in\mathcal C_2:f^\to(\overline{f^\gets(C_2)})\subseteq C_2

$ \implies\forall C_2\in\mathcal C_2:\overline{f^\gets(C_2)}\subseteq f^\gets(C_2)

$ \subseteq\overline{f^\gets(C_2)}

$ \implies\forall C_2\in\mathcal C_2:\overline{f^\gets(C_2)}=f^\gets(C_2)

$ \iff\forall C_2\in\mathcal C_2:f^\gets(C_2)\in\mathcal C_1

$ \underline{\iff\mathcal C_2\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal C_1)\quad}_\blacksquare

3.→2.

$ \text{3.}

$ \iff\forall C_2\in\mathcal C_2:f^\gets(C_2)\in\mathcal C_1

$ \iff\forall O_2\in\mathcal O_2:X_1\setminus f^\gets(X_2\setminus O_2)\in\mathcal O_1

$ \iff\forall O_2\in\mathcal O_2:\mathcal O_1\ni X_1\setminus f^\gets(X_2\setminus O_2)

$ = X_1\setminus(f^\gets(X_2)\setminus f^\gets(O_2))

$ = X_1\setminus(X_1\setminus f^\gets(O_2))

$ =f^\gets(O_2)

$ \iff\forall O_2\in\mathcal O_2:f^\gets(O_2)\in\mathcal O_1

$ \underline{\iff \mathcal O_2\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal O_1)\quad}_\blacksquare

2.→1.

$ \text{2.}

$ \implies\forall x\in X_1\forall N:

$ N\in\mathcal N_2(f(x))

$ \iff f(x)\in N^{\circ_2}

$ \iff f(x)\in N^{\circ_2}\land f^\gets(N^{\circ_2})\in\mathcal O_1

$ \because 2.

$ \iff x\in f^\gets(N^{\circ_2})\in\mathcal O_1

$ \iff x\in f^\gets(N^{\circ_2})\in\mathcal O_1\land f^\gets(N^{\circ_2})\subseteq f^\gets(N)

$ \implies x\in f^\gets(N)^{\circ_1}

$ \iff f^\gets(N)\in\mathcal N_1(x)

$ \underline{\implies\forall x\in X_1\forall N\in\mathcal N_2(f(x)):f^\gets(N)\in\mathcal N_1(x)\quad}_\blacksquare