像と逆像の基本的性質

記号の定義

一部未証明、間違っているのも含まれているかも

$ \forall A_1,A_2:A_1\subseteq A_2\implies f^\to(A_1)\subseteq f^\to(A_2)

$ \forall B_1,B_2:B_1\subseteq B_2\implies f^\gets(B_1)\subseteq f^\gets(B_2)

集合の各種演算との関係

$ \forall A_1,A_2:f^\to(A_1\cup A_2)=f^\to(A_1)\cup f^\to(A_2)

$ \forall B_1,B_2:f^\gets(B_1\cup B_2)=f^\gets(B_1)\cup f^\gets(B_2)

$ \because\forall B_1,B_2:

$ f^\gets(B_1\cup B_2)=\{a\in U\mid f(a)\in B_1\cap B_2\}

$ = \{a\in U\mid f(a)\in B_1\land f(a)\in B_2\}

$ =\{a\in U\mid f(a)\in B_1\}\cup\{a\in U\mid f(a)\in B_2\}

$ = f^\gets(B_1)\cup f^\gets(B_2)

$ \forall\mathcal A:f^\to\left(\bigcup\mathcal A\right)=\bigcup_{A\in\mathcal A} f^\to(A)=\bigcup{f^\to}^\to(\mathcal A)

$ \because\forall\mathcal A\forall y:

$ y\in f^\to\left(\bigcup\mathcal A\right)

$ \iff\exist x\in\bigcup\mathcal A:y=f(x)

$ \iff\exist A\in\mathcal A\exist x\in A:y=f(x)

$ \iff\exist A\in\mathcal A:y\in f^\to(A)

$ \iff y\in\bigcup_{A\in\mathcal A}f^\to(A)

$ \forall\mathcal B:f^\gets\left(\bigcup\mathcal B\right)=\bigcup_{B\in\mathcal B} f^\gets(B)=\bigcup{f^\gets}^\to(\mathcal B)

$ \because\forall\mathcal B\forall x:

$ x\in f^\gets\left(\bigcup\mathcal B\right)

$ \iff x\in U\land f(x)\in\bigcup\mathcal B

$ \iff x\in U\land\exist B\in\mathcal B:f(x)\in B

$ \iff\exist B\in\mathcal B:x\in U\land f(x)\in B

$ \iff\exist B\in\mathcal B:x\in f^\gets(B)

$ \iff x\in\bigcup_{B\in\mathcal B}f^\gets(B)

像は拡大する

$ \forall A_1,A_2:f^\to(A_1\cap A_2)\subseteq f^\to(A_1)\cap f^\to(A_2)

逆像は交換法則が成り立つ

$ \forall B_1,B_2:f^\gets(B_1\cap B_2)= f^\gets(B_1)\cap f^\gets(B_2)

$ \forall A_1,A_2:f^\to(A_1\setminus A_2)\supseteq f^\to(A_1)\setminus f^\to(A_2)

$ \forall B_1,B_2:f^\gets(B_1\setminus B_2)= f^\gets(B_1)\setminus f^\gets(B_2)

2重逆像

$ f^\to:2^X\to2^Y

$ A\mapsto\{y\in Y\mid\exist x\in A\cap X:y=f(x)\}

$ f^\gets:2^Y\to2^X

$ B\mapsto\{x\in X\mid f(x)\in B\}

$ {f^\gets}^\gets:2^{2^X}\to2^{2^Y}

$ \mathcal X\mapsto\{B\in2^Y\mid \{x\in X\mid f(x)\in B\}\in\mathcal X\}

$ =\{B\in2^Y\mid\exist A\in\mathcal X\forall x:(x\in A\iff f(x)\in B)\}

$ {f^\to}^\gets:2^{2^Y}\to2^{2^X}

$ \mathcal Y\mapsto\{A\in2^X\mid f^\to(A)\in\mathcal Y\}

$ =\{A\in2^X\mid\exist B\in\mathcal Y\forall y:(y\in B\iff\exist x\in A:y=f(x))\}

$ {f^\gets}^\to:2^{2^Y}\to2^{2^X}

$ \mathcal Y\mapsto\{A\in2^X\mid\exist B\in\mathcal Y:A=f^\gets(B)\}

$ =\{A\in2^X\mid\exist B\in\mathcal Y\forall x:(x\in A\iff f(x)\in B)\}

$ {f^\to}^\to:2^{2^X}\to2^{2^Y}

$ \mathcal X\mapsto\{B\in2^Y\mid\exist A\in\mathcal X:B=f^\to(A)\}

$ =\{B\in2^Y\mid\exist A\in\mathcal X:B=\{y\in Y\mid\exist x\in A:y=f(x)\}\}

$ =\{B\in2^Y\mid\exist A\in\mathcal X\forall y:(y\in B\iff \exist x\in A:y=f(x))\}

$ B\in{f^\gets}^\gets(\mathcal X)\iff\exist A\in\mathcal X\forall x:(x\in A\iff f(x)\in B)

$ A\in{f^\gets}^\to(\mathcal Y)\iff\exist B\in\mathcal Y\forall x:(x\in A\iff f(x)\in B)

$ \therefore(\exist B\in\mathcal Y:B\in{f^\gets}^\gets(\mathcal X))\iff(\exists A\in\mathcal X:A\in{f^\gets}^\to(\mathcal Y))

$ \therefore{f^\gets}^\gets(\mathcal X)\cap\mathcal Y\neq\varnothing\iff{f^\gets}^\to(\mathcal Y)\cap\mathcal X\neq\varnothing

1重でも何か法則ないかな

$ b\in f^\to(A)\iff\exist a\in A:b=f(a)

$ a\in f^\gets(B)\iff f(a)\in B

$ \therefore(\exist b\in B:b\in f^\to(A))\iff(\exist a\in A:a\in f^\gets(B))

$ \therefore f^\to(A)\cap B\neq\varnothing\iff f^\gets(B)\cap A\neq\varnothing

やっぱりそうだったみたい

References