写像の像と逆像に関する基本的な定理

PはAの部分集合

QはBの部分集合とする

全体を通して、fが全単射なら同値であるはず

逆に言えば、反対が言えないことがなぜなのかを意識すると良い

包含関係

和集合

積集合

補集合

並べてみると、非常にキレイに場合分けされているということに気づいた

「包含関係と写像の命題」みたいな別ページで分けると理解に良いかも

4.1 包含関係の保存

$ P_1 \sub P_2 \Rightarrow f(P_1) \sub f(P_2)

$ Q_1 \sub Q_2 \Rightarrow f^{-1}(Q_1) \sub f^{-1}(Q_2)

4.2　和集合の一致

$ f( P_1 \cup P_2 ) = f(P_1) \cup f(P_2)

$ f^{-1}( Q_1 \cup Q_2 ) = f^{-1}(Q_1) \cup f^{-1}(Q_2)

示す

$ \exist a \in P_1 \cup P_2

$ \Leftrightarrow a \in P_1 または a \in P_2

$ \Leftrightarrow f(a) \in f(P_1) または f(a) \in f(P_2)

$ \Leftrightarrow f(a) = b \in f(P_1) \cup f(P_2)

逆も同様

4.3 積集合の拡大

$ f(P_1 \cap P_2 ) \sub f(P_1) \cap f(P_2 )

$ f^{-1}(Q_1 \cap Q_2 ) \sub f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2 )

メモ：4.2と違い等号でないことを考えよう

示す

$ \exist a \in P_1 \cap P_2

$ \Leftrightarrow a \in P_1 かつ a \in P_2

$ \Rightarrow f(a) \in f(P_1) かつ f(a) \in f(P_2)

$ \Leftrightarrow f(a) = b \in f(P_1) \cap f(P_2)

後述のとこ

例：f = mod3とかで、

A = {0,1,2}, B = {3,4,5}

fAかつfBの積集合のとこに入るのが、

写像の非単射性による"合流"でも足らせているから、

定義域の方で積集合になくても成立する

あとでもう少し書きたい

写像以前の観念をまとめるべき

集合、関係、Aの元から伸びる関係の数を数える

4.4　補集合の縮小

$ f(A-P) \supset f(A) - f(P)

$ f^{-1}(B-Q) = A - f^{-1}(Q)

示す

$ \exists a \in A, a \notin P, f(a) = b

$ a \in A-P

$ f(a) \in f(A-P)

Pの元とA-Pの元で同じ元に写像される例を考える

0,1,2,3,4,5,6,7,8

0,1,2 -> 0

3,4,5 -> 1

6,7,8 -> 2

Pを0,3とすると、

f(A-P)は0,1,2

f(A)は0,1,2 f(P)は0,1で、f(A) - f(P)は2

単射である時＝を示す

$ \exists a \in P, f(a) = b

単射より、aは唯一であり、

$ \forall x \in A - P, f(x) \ne b

Q.E.D.

補集合とnotin合わせてb \in f(p)構成するのはやりやすさはあるが

おれは補集合の気持ち全然わかってあげられていない

4.5　往復による拡大と縮小

$ f^{-1}(f(P)) \supset P

$ f(f^{-1}(Q)) \subset Q

各種、和集合や積集合を、2個ではなくn個と考えたり、集合族として考えた一般化ができる

保存とか、縮小拡大は仮でつけた。別の本でいい表現があったら置き換える