Hausdorffの分離公理
$ \forall a,b\in X:\left(a\neq b\implies\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\b\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}\right)
$ \mathcal O：開集合系
$ \forall F\in\mathscr F:F\text{の極限点が存在すれば一意}
$ \mathscr F：$ X上のfilter全体の集合
任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、
$ (X,\mathcal O)\text{ is Hausdorff}\iff\forall F\in\mathscr F_X\forall x,y\in X:\begin{dcases}\mathcal F\to x\\\mathcal F\to y\end{dcases}\implies x=y
proof
$ \iff\forall a,b\in X:((\forall N_a\in\mathcal N(a)\forall N_b\in\mathcal N(b):N_a\cap N_b\neq\varnothing)\implies a=b)
としておく
(L)⇒(R)
$ \forall F\in\mathscr F_X\forall x,y\in X:
$ \begin{dcases}\mathcal F\to x\\\mathcal F\to y\end{dcases}
$ \iff\mathcal N(x)\cup\mathcal N(y)\subseteq\mathcal F
$ \iff\forall N_x\in\mathcal N(x)\forall N_y\in\mathcal N(y):N_x,N_y\in\mathcal F
$ \iff\forall N_x\in\mathcal N(x)\forall N_y\in\mathcal N(y):N_x\cap N_y\in\mathcal F
$ \implies\forall N_x\in\mathcal N(x)\forall N_y\in\mathcal N(y):N_x\cap N_y\neq\varnothing
$ \underline{\implies a=b\quad}_\blacksquare
(R)⇒(L)
$ a\neq b
$ \implies\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\b\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}
$ \iff\exist N_a\in\mathcal N(a)\cap\mathcal O\exist N_b\in\mathcal N(b)\cap\mathcal O:N_a\cap N_b=\varnothing